基于空间解析几何方法的立体几何问题初探

焦阿妮

【摘要】在经济和社会持续稳定发展的现今，我国各个领域逐渐深入研究，并取得了更为突出的优异成绩.数学问题一直被视为我国教育领域重点研究的话题内容，深化数学问题的研究，提高数学的实践应用能力，是现今社会不可忽视的重要任务.向量运算与解析几何、立体几何以及函数和三角之间存在着密切的联系，同时也是近几年高考考题的重要趋势.本文旨在分析基于空间解析几何方法的立体几何问题，以便为立体几何问题的解决提供一个代数化的有效方法.

【关键词】空间解析几何；立体几何

立体几何所要解决的主要问题包括空间图形中的平行、垂直以及距离、夹角等方面，立体几何问题较为常用的解决方法则是通过定理和概念以及几种不同图形的变化状态，对其进行逻辑化推理，从而深入研究出空间图形的性质.这些问题的出现往往存在着一定的技巧性和随机性，需要学生自身具备着较强的空间想象能力和作图能力，通过空间解析几何方法对立体几何问题进行深入研究，在一定程度上可将复杂的问题变得更为简单化、直观化.本文将空间解析几何方法应用于立体几何问题的解决，从而确保立体几何问题的解决目标得以顺利实现.

一、基于空间解析几何方法以解决空间图形平行和垂直关系的问题

空间图形中存在的平行关系包括线线平行、线面平行、面面平行这三种类型，为此，可以将其分别转化成为向量平行、向量共面以及垂直问题对其进行解决.假设直线l的方向向量表示为s，平面π的法向向量则表示为n，两条直线分别为l1和l2，这两条直线的方向向量则分别设为s1和s2，其平面显示的π1和π2，二者的法向量则分别为n1和n2，那么上述提到的问题，其向量之间的关系则可以将其具体表示为：

（1）线线平行：l1∥l2s1∥s2s2=ks1（其中k∈R）；

（2）线面平行：l∥πs⊥ns·n=0，或者是s与π之间存在的两个相交的向量a，b是共面的；

（3）面面平行：π1∥π2n1∥n2n2=kn1（其中k∈R）.

另外，空间图形中存在的垂直关系则包括线线垂直、线面垂直以及面面垂直这三种类型.为此，可以将其分别转化成为向量垂直、向量平行来进行解决.为此，根据上述已经存在的假设依据，其向量之间的关系可将其具体表示为：

（1）线线垂直：l1⊥l2s1⊥s2s1·s2=0；

（2）线面垂直：l⊥πs∥ns=kn，或者是s与π之间存在的两个相交向量a，b之间是垂直的.也就是说，s·a=0，s·b=0；

（3）面面垂直：π1⊥π2n1⊥n2n1·n2=0.

比如，2012年新课标全国卷例题，如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点，且DC1⊥BD，那么需证明DC1⊥BC，而这种证明往往表示的是线线之间的垂直关系.

证明过程如下：以C点位置为坐标系的原点，CA，CB，CC1则分别设定为x轴、y轴以及z轴的正向，并以此建立空间直角坐标系C-xyz，假设AC=1，那么直三棱柱ABC-A1B1C1中？鞯阍谧晗瞪系淖攴直鹞狝（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），D（1，0，1），且DC1⊥BCDC1·BC=0，因为DC1=（-1，0，1），BC=（0，-1，0），DC1·BC=0+0+0=0，所以，DC1⊥BC.

二、基于空间解析几何方法以解决空间图形夹角和距离的问题

立体几何问题中存在的异面直线夹角、直线与平面之间的夹角以及二面角的平面角等方面的确定，针对这些方面的向量运算则可以将其表示为：两条直线分别设为l1和l2，这两条直线的方向向量则设为s1和s2，二者之间呈现出的角可将其稱为两直线的夹角，为此，可以通过公式对其进行确定.其公式如下：

cosφ=|ccs（s1，s2）|=|s1·s2||s1||s2|.

假设直线l与其所在平面π上面出现的投影夹角为φ，因为φ=π2-（s，n），

所以，sinφ=|cos（s，n）|=|s·n||s||n|.

如果假设两个平面之间的夹角表示为φ，而两个平面分别通过π1和π2表示，二者的法向量通过n1和n2表示，那么当0≤（n1，n2）≤π2时，那么这两个平面之间的夹角则为（n1，n2），如果π2<（n1，n2）≤π时，那么两个平面夹角则可以通过π-（n1，n2）的形式予以表示，为此，cosφ=|cos（n1，n2）|=|n1·n2||n1||n2|.

平面外一个点到平面之间的距离，假定此点为P，则P表示的是平面π外一点，平面π的法向量则为n，A表示的是平面π内的任意一点，AP与平面π之间的夹角为θ0<θ<π2.

那么d=|AP？糡X→〗|sinθ=|AP|cos（AP，n）=|AP·n||n|.

也就是说AP在n上的投影存在的绝对值.

异面直线之间的距离：假定异面之间存在的两条直线分别为l1和l2，其方向向量分别为s1和s2.n是直线l1和直线l2的公垂线共线的向量表示.根据n⊥s1n·s1=0，n⊥s2n·s2=0，最终可求得n的解.在直线l1和直线l2上面分别取点，两点设为A、B，那么由此就可以求出AB在n上的投影绝对值，则d的表达公式如下：d=|AB·n||n|.

比如，2012年上海卷，在四棱柱P-ABCD中，底面为ABCD的矩形，且PA⊥底面ABCD，E在PC的中点位置，已知AB=2，AD=2，PA=2.求异面直线BC与AE之间所成角的大小.

证明过程如下：将A作为坐标原点，AB，AD，AP则作为x轴、y轴以及z轴的正向，由此建立空间直角坐标系A-xyz.那么有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，2，1）.所以，AE=（1，2，1），BC=（0，2，0）.假设AE，BC之间的夹角为φ，那么cosφ=|cos（AE，BC）=|AE·BC||AE||BC|=22，φ=π4.所以，异面直线BC与AE所成角的大小为π4.

三、结束语

综上所述，通过空间解析几何的方式解决立体几何中的问题是十分重要的措施，同时也产生了良好的解决效果，在一定程度上具备着简单化、有效化的价值.其中，最为关键的部分就是以几何图形的垂直关系为依据，进而建立一个恰当的空间直角坐标体系，通过立体几何图形中的一些相关点来对向量予以表示，从而促使立体几何的问题关于线线、线面以及面面，乃至夹角和距离等问题得以顺利转化为向量之间需要重视解决的问题，最后将向量运算的最终结果通过上述提到的立体几？挝侍庋细癖硎境隼矗佣迪至⑻寮负挝侍獾挠行Ы饩？.

【参考文献】

[1]崔秋珍.基于空间解析几何方法的立体几何问题解析[J].教育教学论坛，2012（37）：186-188.

[2]史洪波.高中数学立体几何问题的解析方法探讨[J].课程教育研究，2014（4）：150-151.endprint