圆的方程求法“直通车”

■黄海英

圆的方程求法“直通车”

■黄海英

在解析几何中，要解决与圆有关的问题，必须先求出圆的方程。那么求圆的方程有哪些基本方法呢？下面介绍几种常用的求圆的方程的方法，供大家学习。

一、直接法

根据题目提供的条件列出方程，化简整理即为所求的圆的方程。

例 1 设定点M（—3，4），动点N 在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON 为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。

分析：结合图形，寻求点P和点M 之间的关系，用相关点法（代入法）求解。

解：画出简图，如图l所示。

图l

设点P（x，y），点N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为线段MN 的中点坐标为

因为点N（x+3，y—4）在圆x2+y2=4上，所以（x+3）2+（y—4）2=4。

故所求点P的轨迹为圆，其方程为（x+3）2+ （y —4）2=4，但 应 除 去 两 点，即除去点P在直线OM上的情况。

评注：直接法也叫轨迹法，即通过“建系”、“设点”、“列式”、“化简”等步骤，直接求出圆的方程。

二、几何法

所谓几何法，就是根据题意，求出圆心坐标与半径，然后求出圆的标准方程。

例 2 一个圆经过点 A（5，0）与点B（—2，l），圆心在直线x—3y—l0=0上，求此圆的方程。

分析：由所求圆经过点A（5，0）与点B（—2，l），可知圆心在线段AB的垂直平分线上。先求出线段AB的垂直平分线，再与直线x—3y—l0=0联立，可得圆心坐标。

故所求圆的标准方程为（x—l）2+（y+3）2=25。

（法二）设所求圆的圆心为P（a，b）。由已知可得线段AB 的中点坐标为

故所求圆的标准方程为（x—l）2+（y+3）2=25。

评注：上述两种解法不同，但都是先求出圆心与半径，再得圆的方程。第一种解法是先设圆心坐标再列方程求解，第二种解法是利用两条直线的交点求出圆心坐标。

三、待定系数法

无论是圆的标准方程，还是圆的一般方程，它们都有三个特定的系数，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。

例 3 求经过P（—2，4），Q（3，—l）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆方程。

分析：设出圆的一般方程，利用待定系数法求解。

解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将P，Q两点的坐标分别代入此方程可得

令y=0，得x2+Dx+F=0。 ③

设xl，x2是方程③的两根，由|xl—x2|=6，可得（xl+x2）2—4xlx2=36，即（—D）2—4F=36，D2—4F=36。 ④

由①②④解得D=—2，E=—4，F=—8或D=—6，E=—8，F=0。

故所求圆的方程为x2+y2—2x—4y—8=0或x2+y2—6x—8y=0。

评注：用待定系数法解题的一般步骤是：设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）。与圆上三点或两点有关的问题，选用圆的一般方程求解较为简单；与圆心和半径有关的问题，选用圆的标准方程容易求解。

江苏太仓市明德高级中学

（责任编辑 郭正华）