精心设计教案，有效形成概念——浅谈数学概念的教学方法

江苏省苏州市吴中区藏书中学 顾米根

精心设计教案，有效形成概念
——浅谈数学概念的教学方法

江苏省苏州市吴中区藏书中学 顾米根

数学是由概念与命题组成的逻辑体系。现代一些学者认为“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程。”所以，数学概念是数学知识的基础，是数学教材结构的最基本因素，是数学思想与方法的载体。正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。下面结合本人教学实践，和大家分享一下在数学概念教学过程中的一些做法和体会。

一、生活实际出发，引出概念

【案例1】数轴的概念。

一上课，我就问学生：通过预习，谁能说说什么是“数轴”？学生的回答大多不够完整。

于是我拿出一根温度计，将横放的温度计来类比数轴，让学生观察，归纳画数轴的三要素。

学生由0℃联想到数轴中的原点，由横放的温度计上的读数左边小、右边大联想到了数轴中的正方向，由温度计上大小相等的每一格联想到数轴中的单位长度。

回顾了画数轴的三要素以后，我又补充了一点：“数轴是一条直线”。

【点评】在本案例中，通过实物（温度计）启发学生用直线上的点来表示数，从而引出数轴的概念。这种形象的讲述符合学生的认知规律，使学生容易理解，给学生留下的印象也比较深刻。这样的例子很多，例如，在讲“平行线”时，从“铁轨、路灯的电线”谈起；在讲“三角形任意两边之和大于第三边”时，从“抄近路”谈起；在讲“相似形”时，从“放大照片”谈起等等。

二、抓住本质特征，讲清概念

用实例引入概念，无疑能加强学生的形象思维，但是如果仅注重实例，而不注意概念的本质抽象，不强调概念的本质特征，还不能真正讲清概念。

【案例2】互为补角的概念。

学生易把180°的角叫补角，或把两个和为180°的角中的一个叫作补角。因此，我在讲解时讲清其本质特征是“两个角”，“和为180°”，还强调“互为”的意思。

【案例3】直线、射线、线段的概念。

我在讲解上述概念时，讲清其本质差异是“端点的个数”，还强调“直线和射线的无限延伸”问题。

【点评】本案例对学生今后学习垂线、角平分线、垂直平分线、射影等概念起关键作用，否则，学生容易混淆概念，造成科学性错误。比如把“垂线段最短”叙述成“垂线最短”；把“线段的垂直平分线”说成是“直线的垂直平分线”等。

三、从已学的概念，引新概念

数学概念要在数学知识体系中不断加深认识，从数学概念之间的关系中来学习概念，可以深化对所学概念的认识。

【案例4】二元一次方程的概念。

结合母亲节即将到来的时间背景，我一上课就向学生抛出了这样一个问题：“母亲节即将来临，小丽决定拿出自己的30元零花钱购买一束康乃馨，向母亲送上节日的祝福。这束康乃馨由红色和粉红色两种颜色组成。已知红色康乃馨2元一枝，粉红色康乃馨1.5元一枝，那么这束康乃馨可以由几枝红花，几枝粉红色的花组成？”

面对这样一个问题，学生有些无所适从，无法明确解题的方向。于是，我引导学生设这束康乃馨中有x枝红花，y枝粉红色的花，通过引入两个未知数，并列方程进行求解，学生很快就列出了关于x和y的方程：2x+1.5y=30。

接下来，我请学生判断这个方程是不是一元一次方程，然后，我让学生比较一元一次方程和这个方程的特征，归纳出两种方程的相同点和不同点，从而得出二元一次方程的概念。

【点评】本案例中，通过比较，使学生认识到两种方程都是一次方程，区别在于未知数的个数不同，从而帮助学生在一元一次方程的概念的基础上建立二元一次方程这一新概念。

四、数学史的发展，引入概念

【案例5】有理数的概念。

我带领学生一起回顾了数的概念的发展历程：

人类是动物进化的产物，最初没有数量的概念。在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐步产生了数的概念。例如，捕获了一头野兽，就用一块石头代表，也有用绳子打结来记数，还有的用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上记数。这些方法用得多了，就逐步形成了数的概念和记数的符号。

数的概念最初是从1,2,3,4，…这样的正整数开始的，只是记数的符号不相同。但“零”的出现稍晚，不过当时“零”不表示“空无所有”，而是表示“零碎”的意思。例如，“一百零一”的意思是：在一百以外，还有一个零头一。随着阿拉伯数字的引进，“零”字与“0”对应，有了“0”的含义，记数时表示一个也没有。

随着社会的发展，人们又发现了许多具有相反意义的量。例如，增加与减少、前进与后退、上升与下降等，这样又产生了负数，如：零下5摄氏度，记为-5℃。正整数、零、负整数统称为整数。

后来，随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅用整数表示是远远不够的。如果分配猎物时，5个人分4种东西，每个人该得多少？于是分数产生了。整数再加上正分数和负分数就统称为有理数。

【点评】通过数学史的介绍，帮助学生了解每一次数的概念的扩充的背景知识，使学生对于数的分类有一种感性认识，让学生体会到“生活中处处有数学”，激发学生的数学学习兴趣。

【案例6】实数的概念。

通过拼图操作得到面积为2的正方形，进一步探究这个正方形的边长，发现有理数“不够用”，从而引入无理数。

在讲解无理数的概念时，我讲述了古希腊数学家希帕斯发现无理数的故事。而无理数与希帕斯所在的毕达哥拉斯学派的“世间万物皆数。这些数不是整数，就是整数之比”的理论相矛盾，为此，希帕斯献出了自己的生命。

【点评】通过解决数学内部的运算问题，帮助学生理解每一次数的概念的扩充的意义。通过数学史的介绍，帮助学生了解无理数概念的来龙去脉，使学生体会人类理性思维和科学精神的伟大胜利，激发学生的数学学习兴趣。

五、采用变式图形，理解概念

【案例7】钝角三角形的高的概念。

在讲授钝角三角形的高时，我先照课本上（图1）的图形讲，接着变化为图2、图3的图形。三角形位置一变，不少学生就不会作钝角三角形的高了。

图1

图2

图3

【案例8】直角三角形、等腰三角形的概念。

我在讲直角三角形、等腰三角形时，先按标准图形讲（图4），接着变化为图5、图6的图形讲。

图4

图5

图6

【点评】 采用变式图形教学，不但能使学生更好地理解概念，而且使学生容易找到图形的本质特征。只用标准图形教学，情况正好相反。强调变式图形教学，并不是说可以放松标准图形的教学。恰恰相反，标准图形是变式图形的基础，我们应当在教好标准图形的基础上进行变式。

例如，同位角的标准图形应该是图7，而不是图8，图8只不过是一种特殊情况。在讲同位角的概念时，首先要教好标准图形，不能用特殊图形来代替一般图形，更不能用特殊图形的性质代替一般图形的性质。如果教师稍有疏忽，就会使学生造成“同位角相等”的错觉。事实上，即使我们照图7的情况来讲，在今后教到平行线的性质和判定后仍会出现知识的负迁移，仍有不少学生脑子里的同位角仅是图8中的∠1和∠2。教师在教学中要充分注意这种心理现象，努力抑制或避免负迁移。在讲每一个新概念时，都应注意新旧概念之间的比较；在变式时，一定要注意保留概念的本质属性，变化非本质属性。

图7

图8

概念是进行正确思维的前提和依据。概念教学对整个数学教学起着至关重要的作用。教师在数学概念教学中尤其要精心设计概念的引入环节，促进学生有效地形成概念，完善学生的认知结构，发展学生的思维能力，从而提高数学教学质量。