从线性方程组到线性代数

杨潇

【摘要】本文基于线性代数课程内容抽象，知识点丰富，学生掌握起来比较困难的特点，通过对线性代数教与学实践经验的总结，在已有教学方法的基础上，探讨从线性方程组到线性代数整个课程的一种教学思路.

【关键词】线性方程组;线性代数;教学思路

【基金项目】本文感谢郑州大学教学改革研究与实践项目的支持，项目名称：《线性代数》教学改革的研究与实践.

线性代数作为数学学科的一个分支，主要研究线性问题.一方面，就课程本身而言，内容十分丰富，涉及行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型乃至向量空间多个方面;有相对简单的“线性”关系，即从几何上看表示直的关系，又有相对困难的增加课程抽象性的“代数”问题，即用符号代替元素和运算的问题.另一方面，随着计算机技术的飞速发展，科技的日新月异，各学科之间的相互融合，线性代数作为高等院校的一门基础数学课，其重要性不言而喻;同时教学上又面临需在有限课时内，使学生全面掌握课程内容，形成较强逻辑思维能力的挑战.因此，讲究授课方法，帮助学生顺利完成学习任务成为教学者普遍关注的问题.本文将探讨一种从线性方程组开始，联系整个课程内容的教学思路.该思路是在麻省理工学院线性代数课程公开课的启发下形成的，其主要内容将在下文中一一阐述.

一、线性方程组解的几何表示

求解线性方程组是线性代数课程的一个重要内容，通过对该内容的学习可以把线性代数各部分内容紧密相连.作为开始，我们来讨论线性方程组解的几何表示.

以2×2的线性方程组的解为例.下面的2×2的线性方程组

x-2y=0，2x+y=5.

解的几何表示分为两种情形.一是以方程组的行为观察对象，其解可以看成分以行向量α1=（1，-2），α2=（2，1）为方向向量的两条直线x-2y=0和2x+y=5的交点;二是以方程组的列为观察对象，其解可以看成两个2维列向量β1=（1，2）T和β2=（-2，1）T线性组合的组合系数，具体表为

x12+y-21=05.

类似地，3×3线性方程组也有两种几何表示.行表示：方程组的解是三个平面的交点;列表示：方程组的解是三个3维列向量的线性组合系数.

我们进一步分析方程组的上述几何表示，得到下面内容.

二、向量空间部分概念的引入

对于线性方程组的行表示，方程组的解就是求交点.在2、3维情况下，我们有具体的几何对象与之对应，交点可以通过画图求得，然而高维情况就复杂多了.此时，无法具体画出图像，我们将如何判断是否有交点，以及交点有多少个呢？在上例列表示等式中，右端列向量对应的表示系数为x=2，y=1.我们将列表示扩展一下，提出问题：是否在列表示等式右端任意给定一个列向量都能有相应的x，y与之对应呢？

为解决这些问题，我们可以引入向量空间中的一些概念，首先是向量组的线性相关性.对于上述2×2的例子，因向量α1与α2线性无关，知有唯一交点;因β1与β2无关，知有唯一表示.这一结论不仅能推广至高维，对于方程个数与未知量个数不等的方程组一样适用.对于第二个问题，在左端向量线性无关的情况下，我们能唯一找到对应的x和y.同时，第二个问题实际上反映了向量空间中的维数，基与坐标问题，这些在课程的学习中将具体讲述.

上段中我们只说明了向量组线性无关时的情况，当线性相关时如何处理呢，我们需学习下面内容.

三、矩阵与行列式

引入矩阵概念，上述方程组可以通过矩阵乘法来表示

1-221xy=05.

记矩阵A=1-221，则{α1，α2}，{β1，β2}分别称为矩阵A的行、列向量组.

此时，判断向量组的相关性可以用求行列式法，方阵的行列式为零，则其行、列向量组线性相关，否则向量组线性无关;也可以用矩阵初等变换法，将矩阵进行初等变换求得矩阵的秩，秩比矩阵的阶数小，则向量组线性相关，秩与矩阵的阶数相同则无关.

然而行列式的判断法仅适用于方阵，当矩阵非方阵时，可以用矩阵的初等变换法.

至此，我们在讨论2×2线性方程问题解的基础上，融入了线性代数课程的其他内容.事实上，行列式产生于求解线性方程组，由莱布尼茨和关孝和发明.而较为明确完整的行列式的定义和展开法则的阐述则是由克莱姆给出的，同时这位数学家还给出了求解未知量和方程个数相等的利用行列式求解的克莱姆法则.而矩阵的概念由凯莱提出，史密斯和道奇森给出了利用矩阵的初等变换求解任意形式的线性方程组的方法.在矩阵论的形成中，凯莱还提出了特征方程和特征值理论，求解矩阵的特征值及特征向量又要用到计算行列式及求解线性方程组.之后课程内容中，二次型的化简又需要用到特征方程的概念.

总之，线性代数的内容虽然较多，但彼此联系，抽象问题都有具体对象与之对应.因此，我们从线性方程组的求解出发，由具体到抽象，由点到面地进行讲解，是一种可行的思路，对于更好地把握课程内容，达到学习目标是有意义的.

【参考文献】

[1]鄧俊强.线性代数[M].郑州：郑州大学出版社，2007.

[2]戈丁.数学概观[M].胡作玄，译.北京：科学出版社，2001.

[3]同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]哈尔滨工程大学数学系.线性代数与空间解析几何[M].北京：高等教育出版社，2008.