巧用复数理论解决初等数学问题

岳曦梦+刘双双

摘 要：在很多问题中，巧妙地利用复数，会使问题简洁明快。不等式问题，在数学当中有着广泛的应用，在本文中，我们将复数模的基本性质、复数的几何意义，复数间形式的转化，复数与向量的关系等应用到基本实数不证明的证明当中。

关键词：复数；不等式；复数模的性质；复数的应用；解析；几何

一、 前言

十六世纪前半叶，在Cardan公式中用了复数开放而引进了复数。它在很长一段时间内困惑着广大数学工作者，以至于被称为“诡辩量”、“实数的鬼魂”、“虚数”、“介于存在与不存在之间的两栖物”等。复数与我们过去认识的数有一个明显的区别，复数没有大小。对此，一度也曾使人费解。直到上世纪初，数的大小与数的加法、乘法运算有着密切关系，也就是说，数的大小顺序要与某种排列顺序分开，前者受运算性质的制约，后者可以与运算性质没有关系。

虽然复数之间不存在大小关系，但是复数的模、实部、虚部作为实数，是可以比较的，因此复数的模、实部、虚部之间是存在不等关系的。利用复数的性质、几何意义等可以对不等式进行巧妙地证明，我们将复数形象地理解为：复数z=a+bi与复平面内的点z（a，b）是一一对应的，也可理解为：复数z=a+bi与复平面内的向量OZ是一一对应的。将复数具体话将帮助我们更深刻的理解复数，更加巧妙地运用复数来解决实际遇到的问题，探究复数在解决数学题中的重要意义，培养学生创造性的思维。

二、 在解析几何中求动点到定点距离的最值

在解析几何中，求定点到动点距离，也可以考虑把问题转化为求复平面上这两点为起始的向量的模的最值。

【例1】 求圆C：x2+y2=4上的点到定点P（3，33）的最大距离与最小距离。

解：圆C的复数形式是|Z|=2；设圆C上的任意点为Z，对应的复数是Z，

P点应的复数是：3+33i；由复平面上两点间距离公式得|PZ|=|Z-（3+33i）|，

据两复数差的模的不等式，有 ||Z|-|3+33i||≤|Z-（3+33i）|≤|Z|+|3+3i|；即4≤|PZ|≤8，由Z的幅角的任意性，可知两个等号可以到达，

圆C上的点到定点P的最大距离是8，最小距离是4。

三、 用复数证明正弦定理

正弦定理：asinA=bsinB=csinC。

证明：建立坐标系，三角形在坐标系中任意位置，

设A、B、C所对应的复数分别为z1、z2、z3。

显然z3-z1z2-z1=bc（cosA+isinA），z1-z2z3-z2=ca（cosB+isinB）

故sinAa=cabIz3-z1z2-z1=cab|z3-z1|2I（z3-z1）（z3-z1）=1abcIz1z3-z2z3-z1z2

∵Iz3z2-z3z1=Iz1z3-z2z3

故asinA=bsinB，同理bsinB=csinC，所以有asinA=bsinB=csinC成立。

四、 利用复数的模导圆锥曲线方程

圆锥曲线是动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数λ的点的轨迹。利用复数的模同样能实现推导圆锥曲线，下面是求解的具体步骤方法。

解：设动点z=x+yi，定点为z0，定直线为z=-p2i，

则有|z-z0|=λ|Iz-Ip|；即x+yi-p2=λy+p2，

当λ=1时为x2=2py，若定点为z0=p2，定直线为z=-p2，则用同样的方法可导出此圆锥曲线的方程：x-p22+y2=λ2x+p22，当λ=1時，方程为y2=2px。

五、 求解含有复数的不等式

含有复数的不等式是我们中学曾经接触过的，在应用复数理论的时候，更要注意巧妙、严谨的使用，才能将复数思维的宽度以及广度最大化，把虚无的世界变得条理清晰，具备说服力和真实性。

【例2】 解不等式-1

解：已知z+1z∈R，于是可令z+1z=r（r∈R），不等式即可变形为：-1

所以不等式-1

倘若令不等式-1

则x=r2，y=±4-r22，x2=r22，y2=1-r24=1-x2

则x2+y2=1，并且y≠0，x≠±1；由此可知解集S是复平面上以原点O为圆心，

以1为半径的圆心上去掉（1，0）和（-1，0）两点的两段连续圆弧。

参考文献：

[1]常庚哲.复数计算与几何证明[M].上海教育出版社，1980：55-56.

[2]余致甫.数学教育学概论[M].上海：华东化工学院出版社，1990：172-176.

[3]宋庆.数学问题解答I257题[J].数学通报，2000，（3）：7-10.

作者简介：

岳曦梦，吉林省长春市，吉林师范大学；

刘双双，浙江省杭州市，杭州市星澜小学。