解析几何最值问题的解题策略

解析几何最值问题，历来是新课标高考的重要考点.此类问题涉及的知识面较广，解法灵活多变.常常令考生“望题兴叹”.那么，破解这类问题有何良方？总体上说，主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.下文举例说明，供同学们参考.

一、利用定义，直奔主题

例1已知双曲线C的两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知定点G（1，2），点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|+|DG|的最小值.

解析：（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，半焦距为c=2，

所以其虚半轴长b=c2-a2=3.

又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2-y23=1.

（2）由已知，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，

所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号.

因为|GF2|=（1-2）2+22=5，所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=5+2，

故|DF1|+|DG|的最小值为5+2.

评注：利用曲线的定义，不仅可以求曲线方程，还可以将圆锥曲线最值问题转化为几何问题处理.

二、函数思想，为你着想

例2已知抛物线C的顶点为C（0，0），焦点F（0，1）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO与BO分别交直线l：y=x-2于M，N两点，求|MN|的最小值.

解析：（1）由已知可得抛物线的方程为：x2=2py（p>0），且p2=1p=2，

所以抛物线方程是：x2=4y.

（2）设A（x1，x214），B（x2，x224），所以kAO=x14，kBO=x24，所以AO的方程是：y=x14x，

由y=x14xy=x-2，∴xM=84-x1，

同理由y=x24xy=x-2，∴xN=84-x2，

所以|MN|=1+12|xM-xN|

=2|84-x1-84-x2|

=82|x1-x216-4（x1+x2）+x1x2|（1）

设AB：y=kx+1，由y=kx+1x2=4y，∴x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4kx1x2=-4，

且|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=4k2+1，代入（1）得，

|MN|=82|4k2+116-16k-4|=82k2+1|4k-3|，

设4k-3=t≠0，∴k=3+t4，

①当t>0时，|MN|=8225+t2+6t4t

=221+25t2+6t≥22，

所以|MN|的最小值是22；

②当t<0时，

|MN|=8225+t2+6t4t=221+25t2+6t=22（5t+35）2+1625≥22×45=825，

所以|MN|的最小值是825，此时t=-253，k=-43；

综上所述，|MN|的最小值是825.

评注：函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，并用适当的代数方法（如配方、基本不等式、函数单调性等）加以解决.

三、数形结合，立竿见影

例3若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点，则b的最小值是.

解析：由y=3-4x-x2，得（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3）.

∴曲线y=3-4x-x2是半圆，如图所示.

当直线y=x+b与圆相切时，|2-3+b|2=2.∴b=1±22.

由图可知b=1-22.∴b的取值范围是[1-22，3].

故b的最小值是1-22.

评注：解析几何中，常利用一些表达式的几何意义用图形直觀助解.或将几何问题转化为方程或函数问题求解.本例堪称数形结合求最值的典范，如果用纯粹的代数法来解，必“大动干戈”，同学们可以一试.

四、三角换元，最值速现

例4已知椭圆E：x225+y216=1，点P（x，y）是椭圆上一点.

（1）求x2+y2的最值；

（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值.

解析：令x=5cosθy=4sinθ，θ∈[0，2π），

于是x2+y2=25cos2θ+16sin2θ=16+9cos2θ.

又∵cos2θ∈[0，1]，

∴x2+y2的最大值为25，最小值为16.

（2）如图所示，易知A（5，0）、C（0，4），|AC|=41，

设B（5cosθ，4sinθ）为椭圆上任一点，

又AC方程为x5+y4=1，即4x+5y-20=0，

所以点B到直线AC的距离为

d1=|20cosθ+20sinθ-20|41

=|202sin（θ+π4）-20|41≤202-2041.endprint

同理可得，点D到直线AC的距离为

d2≤202+2041.

所以四边形ABCD的最大面积为

S=12|AC|（d1+d2）=202.

评注：三角换元的目的是把目标函数中两个变量转化为一个角变量，从而把原问题转化为我们熟知的三角函数最值问题.

五、建立不等关系，求出取值范围

例5已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，P在椭圆上且满足PF1·PF2=c2，则此椭圆离心率的最大值是.

解析：将∠F1PF2的余弦值用a和c表示，再依据三角函数的有界性建立关于a和c的不等式.

由椭圆定义得，|PF1|+|PF2|=2a，

两边平方得，|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|=4a2①

又PF1·PF2=c2，∴|PF1|×|PF2|cos∠F1PF2=c2②

由余弦定理得，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2③

由①②③得：cos∠F1PF2=c22a2-3c2，

因为PF1·PF2=c2>0，所以00，

于是由c22a2-3c2≤1，得2c≤a，故e=ca≤22，

所以此椭圆离心率的最大值是22.

评注：对于此类离心率最值问题，关键是如何建立a，b，c之间的关系.常用椭圆上的点（x，y）表示成a，b，c，并利用椭圆中x，y的取值来求解范围问题，也可根据几何图形的性质建立不等关系，进而将其转化为关于a，b，c之间的不等关系.

六、几何性质，为我所用

例6已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为.

解析：由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|=|AA1|+|BB1|2.

因为|AB|≤|AF|+|BF|（F为抛物线的焦点），即|AF|+|BF|≥6，所以|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2..

评注：解析几何是“代数化”了的平面几何，因此，求解解析几何问题往往离不开几何图形的几何性质，尤其是对于某些最值问题，我们可以抓住图形特征，将其转化为平面几何中最值问题.

七、巧妙设元，合理转化

例7已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点.

（1）求x2+y2的最大值和最小值；

（2）求y-2x-1的最大值和最小值.

解析：（1）设t=x2+y2，则t表示与圆（x+2）2+y2=1上的点与原点的距离的平方.而此圆的圆心到原点的距离为2，所以tmax=（2+r）2=（2+1）2=9，tmin=（2-r）2=（2-1）2=1，

所以x2+y2的最大值为9，最小值为1.

（2）设k=y-2x-1，则k表示圆外定點（1，2）与圆上的点的连线的斜率，直线kx-y-k+2=0与圆相切时，圆心（-2，0）到切线的距离等于半径，即|-3k+2|1+k2=1，解得k=3±34，数形结合可知y-2x-1∈[3-34，3+34].所以y-2x-1的最大值为3+34，最小值为3-34.

评注：本题通过整体换元，将原问题转化为直线与圆有交点的位置关系问题，从而利用这个关系求出字母参数的取值范围，来得到目标关系式的最值.破解这类问题的关键是挖掘目标函数的几何意义，将最值问题等价转化为解析几何中的有关位置关系问题.如：形如u=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如（x-a）2+（y-b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.

（作者：邵红，太仓市教师发展中心）