高中数学解题中数形结合的运用解读

魏述琦

摘 要：本文从高中数学解题中数形结合的作用入手，通过实际案例简要介绍笔者在高中数学学习中应用数形结合的主要思路和方法，对（学生）理解数学知识、掌握数学原理具有积极影响，从而简化解题步骤，具有一定的现实意义。

关键词：高中数学 数形结合 解题

“数”与“形”是高中数学中最为重要的两个组成部分[1]，二者相辅相成，通过数形结合与转换，能够提高解题速度，将复杂的数学问题简单化，从而更好的理解数学知识，提升（学生的）解题能力。

一、高中数学解题中数形结合的作用

数形结合是数学解题中重要的解题方法之一，“数”指的是代数，“形”代表几何，这两者都是数学中的重要分支。解题时采用数形结合具有极高的优势，一方面，利用“形”使“数”直观化，便于思考，获得解题思路；另一方面，利用“数”使“形”抽象画，从而精确的研究“形”的具体特征和内涵，找到解题切入点[2]。这种数形结合的解题方法，能够帮助我们了解到数学中“数”与“形”的关系，同时将“数”与“形”相互转化，简化解题步骤，在应用数形结合解题过程中，与题目条件相互博弈，从而获得数学解题乐趣和成就感，培养强大的数学学习自信。

二、高中数学解题中数形结合的应用

1.高中数学集合解题中数形结合的运用

在三年高中数学学习中，笔者发现集合与数形结合具有很大联系，利用维恩图、数轴图像来解决集合问题，使解题思路更加清晰，即便是复杂的集合问题，也能够通过数形结合的方式来解答。因此，笔者在集合解题中经常采用数形结合解题方式，久而久之，（学生）对集合概念、特点、原理掌握能力有所提高[3]，解答节省了时间，提升了集合解题速度。例如，习题：某班共计37名学生报名参加唱歌、舞蹈、画画三个第二课堂小组。每人至少参加一个第二课堂小组，在没参加唱歌小组的学生中，参加舞蹈小组人数是参加画画小组的2倍，只参加唱歌小组的人数比剩下参加唱歌小组的多1人，只参加一个第二课堂小组的学生中有50%没有参加唱歌小组。问，只参加舞蹈小组的人数？参加唱歌小组的人数？在这道习题中，各种变量之间的关系较为复杂，很难树立条件之间的关系，笔者将三个小组人数看做集合，分别将参加唱歌、舞蹈、画画小组的学生人数设为A、B、C；只参加一个小组的人数设为a、b、c；参加其中两个小组的人数设为e、f、g；三个小组全部参加的人数设为g，最后通过维恩图可以清晰获得三个小组人数之间的关系（如图一），利用方程就能够轻松得出结果。

2.高中数学函数解题中数形结合的运用

函数本身就是“数”与“形”的结合，因此，采用数形结合方式来解答函数问题是最为基础的能力。一方面，“数”为“形”总结规律，使“形”的数量关系得以体现；另一方面，“形”是“数”的表现，通过“形”能够直观了解“数”的变化趋势[4]。在高中数学学习中，函数贯穿了整个数学知识之中，作为数学知识的重点内容，题目类型和变式较多，如果能够掌握数形结合的规律，通过转变“数”与“形”的解题角度，可使复杂的题目简单化。例如，题目：如果0﹤m﹤n﹤1，判断mm﹤mn、nm﹤nn、mm﹤nm、是否正确？这一题目的条件较少，不容易找到清晰的解题思路，笔者在遇到此类问题时，会假设m、n为具体数值，通过具体数值画出函数图像，从而判断其正确性。通过这种“数”与“形”相互转换的方式，将函数与其图像相互联系，能够轻松获得各个变量之间的关系，缩减解题时间。

3.高中数学方程和不等式解题中数形结合的运用

笔者认为，不等式是高中数学内容中的难点，很多不等式题目变量太多，解题时需要考虑的因素过多，在实际学习过程中，存在较多困难，尤其是一元二次不等式方面，题目难度较大。而将数形结合思想引入到一元二次不等式解题中，将不等式转化成为函数图像，可有效降低解题难度，从而直观的进行分析，因此，数形结合是解一元二次不等式题目最为有效的方法。例如，题目：x2y≥xy+x，求x解集。这一元二次不等式题目可先画出二次函数图像，根据方程抛物线开口情况确定抛物线与x轴的交点，从而得出解集范围，再套入到原题目方程中，即可得出x的解集。这种方式中，现将“数”转化为“形”，再通过对“形”的分析，得出“数”的范围，最后回归到“数”中，解得答案，有效简化整个解题过程，将抽象的“数”，用直观的“形”表现出来，从而帮助笔者理清解题思路，提高一元二次不等式解题效率。

4.高中数学解析几何解题中数形结合的运用

解析几何虽然作为几何学的一个分支，但是解析几何与代数之间存在极强的关系[5]，利用代数思想来解答解析几何题目，能够有效提升解题速度，为解题带来新的方法和思路，降低题目难度。例如，题目：在抛物线y2=4x中存在点K，已知，点K距离点A的距离为m，点K与抛物线y2=4x焦点的距离为n，如果m+n为最小值，求得点K的坐标。这一题目中存在较多条件，但如果画出对应图形，就能够发现其中一些条件是无用的，诸如m和n与题目本身没有关系，仅仅是一个概念，因此只要画出准线l，KA与l相互垂直，并保证其距离最短，就能够得出点K的具体坐标为（1/4，-1）。通过这种方式，将数形相互结合，转换解题切入点，能够找到更为简洁和方便的解题方法。

结语

综上所述，数形结合在函数解题、集合解题、方程和不等式解题及几何解题中均存在重要作用，促使笔者找到更为简单和直接的解题思路，使复杂的数学题目简单化，抽象的题目具象化，对解题速度和解题准确率具有积极影响，因此，同学们应重视数形结合方法在高中数学中的合理、灵活运用，从而扩宽数学解题思维，提升数学能力。

参考文献

[1]杨建珍.浅谈数形结合在高中数学中的应用技巧[J].科学咨询，2016（33）

[2]唐卓雅.高中数学中数形结合思想的学习体会[J].大科技，2017（29）：27.

[3]黄江宁.高中数学对数形结合方法的应用探讨[J].数理化学习（高一二版），2015（12）

[4]周明陶.數形结合解题思想在高中数学中的应用[J].考试与评价，2017（4）

[5]肖婕.高中数学函数解题过程中"数形结合"法的运用[J].青年时代，2016（24）endprint