任意区间上Chebyshev多项式零点插值的误差估计及证明

张晓勇

【摘要】基于Chebyshev正交多项式的零点，对标准区间[0，1]上的Lagrange插值进行误差估计并给予证明.在此基础上，又对任意区间上的Chebyshev多项式零点插值的误差进行估计.最后，通过实例指出：Chebyshev多项式零点插值能有效避免Runge现象的原因.

【关键词】Chebyshev多项式；零点插值；区间变换；误差估计

【基金项目】2016年河南省安阳学院项目，项目名称：基于容量网络的城市PM2.5点源扩散模式研究（201613504033）.

函数逼近在纯数学、工程与物理学等诸多领域具有广泛的应用，而正交多项式作为函数逼近的重要工具之一，为求解f（x）∈C[a，b]的最佳平方逼近多项式提供了一整套理论与方法[1].常用的正交多项式主要有Legendre多项式、第一类Chebyshev多项式、第二类Chebyshev多项式、Laguerre多項式与Hermite多项式等[2].在Lagrange多项式插值逼近中，利用第一类Chebyshev多项式零点作为插值节点可有效避免Runge现象的出现，但是，由于Chebyshev多项式自身的特征，导致这种方法局限于区间[0，1]，本研究将这种方法在任意区间[a，b]进行推广，并对其截断误差进行估计与证明.

一、Chebyshev正交多项式

（一）正交多项式的定义

从图中，可以看出：利用切比雪夫零点插值可以有效避免龙格现象，保证了拉格朗日插值多项式LC10（x）在整个区间上有效收敛于f（x）.事实上，这里出现龙格现象的原因在于随着自变量x的绝对值不断增大，高次插值的振幅越来越大，而f（x）越来越靠近x轴从而导致出现龙格现象.但是，LC10（x）的插值节点在自变量x变化区间的端点处分布较为密集，故能有效避免龙格现象的出现.

三、总 结

本研究主要介绍在任意区间上Chebyshev零点插值的误差估计及证明，并对Chebyshev零点插值有效避免龙格现象的原因进行了深入分析.这一研究提供了插值逼近一种新思路：即在函数值误差较大或变化剧烈的区间内要增加插值节点的个数会取得较好的插值效果，同时也能有效避免龙格现象的出现.

【参考文献】

[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].第5版.北京：清华大学出版社，2008：63-68.

[2]谢庭藩.多项式逼近函数的几个问题[J].数学进展，1984（1）：23-26.

[3]张建国，邹杰涛.有关多项式逼近的两个性质[J].华北工学院学报，2004（6）：419-422.

[4]许小勇，周凤英.第三类和第四类Chebyshev小波积分算子矩阵及其在数值积分中的应用[J].应用数学，2016（1）：91-103.