非结构网格的有限体积法研究

张海军　李雪

摘 要 基于双曲守恒律方程，详细阐述了非结构三角形网格的有限体积方法。在该方法中，通过运用数值流函数来近似计算线积分，并且详细介绍了常见的三种数值流函数。时间的离散采用三阶TVD Runge-Kutta方法。

關键词 有限体积法 非结构网格 数值流函数 龙格-库塔法

中图分类号：V211 文献标识码：A

0 引言

有限体积方法可以认为是有限元法和有限差分法的结合，所以有限体积法吸取了有限元网格剖分灵活的优点，克服了差分法网格适应性差的缺点。二十世纪八十年代以来，由于非结构网格的发展，有限体积法取得了很大的进步，为双曲型守恒律方程的发展提供了很大的空间。因此，非结构网格下的有限体积法已经成为数值模拟复杂、高速流动的重要方法。

1 格式的构造

1.1 空间离散

对于二维标量双曲守恒律方程

对计算区域采用规则的三角形网格剖分，以三角形单元本身作为控制体，对上式在三角形单元A上积分得：

利用Green公式得：

其中是U在三角形A的网格平均值，是三角形A的面积，是三角形A的第k条边，是第k条边对应的外法向量。定义，且定义外法向量的模长为对应边的长度，用中矩形公式近似上式中的积分可得：

。

其中表示第k条边的中点，表示与三角形A的第k条边共边的三角形对应边的重构函数，为数值流函数。

1.2 数值流函数的近似

数值流函数是近似，常用的有三种形式：

第一种形式为算术平均形式：

；

第二种形式为Lax-Friendrich数值流函数：

；

其中是Jacobian矩阵的复合线性函数。

第三种形式为Roe的Riemann解算子，

。

1.3 时间离散

在有限体积法的构造中，人们习惯对时间和空间分别进行处理，时间方向的离散一般采用文献[3]中的TVD Runge-Kutta方法。

2 结语

在非结构的三角形网格下，详细描述了双曲守恒律方程的有限体积方法，通过运用数值流函数来近似计算积分。时间的离散用三阶TVD Runge-Kutta方法表达式。

参考文献

[1] 赵延生.非结构网格的ENO有限体积方法研究[D].长沙：国防科学技术大学研究生院， 2004，1-52.

[2] 朱华君.二维浅水波方程的高阶有限体积格式[D].长沙：国防科学技术大学研究生院， 2006，1-54.

[3] Fjordholm U， Mishra S， Tadmor E. Energy preserving and energy stable schemes for the shallow water equations[C].2009，93-139.endprint