浅析变量替换在高等数学中的典型应用

梁月亮+续晓欣

【摘要】定积分的计算、二重极限的计算、函数导数的计算以及微分方程的求解是高等数学的重要组成部分，这些内容既是重点也是难点.本文结合作者的教学经验和学生的探讨总结，将变量替换的简单应用做了典例分析，希望能对理工科学生学习高等数学有所帮助.

【关键词】定积分；二重极限；微分方程

【基金项目】资助项目：中北大学教学教育改革项目。

文献[1-2]通过具体例子说明了变量替换在不定积分计算方面的广泛应用.本文作者通过典型例题分析了变量替换在定积分的计算、二重极限的计算、变限积分函数的求导，以及微分方程的求解等方面的广泛应用.以下例题是笔者在高等数学授课过程中学生们经常遇到的问题.

一、变量替换在定积分计算中的应用

所给定积分按照（分部积分等）常规思路很难解决，但是通过适当的变量替换问题就变得很简单.事实上，在证明定积分“偶倍奇零”时就是通过做变量替换t=-x获证的.

二、变量替换在二重极限计算中的应用

变量替换除了在一元函数定积分的计算中表现出很重要的地位，同时在计算函数极限时有时也会突显其作用，有时甚至可以将二元函数的极限问题简化，即将二元函数的极限问题转换成一元函数的极限问题.

三、变量替换在偏微分方程求解中的應用

变量替换除了在计算函数极限与积分时用来简化问题之外，在求方程解时，往往也通过变量替换来化简方程.大家熟知的伯努利方程就是通过变量替换z=y1-n化成一阶线性非齐次方程后进而求出其通解的.事实上，在偏微分方程的求解过程中，变量替换也会起到关键作用.

四、变量替换在偏微分方程求解中的应用

即便是大家熟知的比较简单的函数求导问题，有时也有必要通过做相应的变量替换来化简问题.特别是被积函数为复合函数的变上（下）限积分函数的求导问题，往往需要通过变量替换来计算.

【参考文献】

[1]雷彩明.积分计算中变量代换研究[J].现代商贸工业，2011（5）：223-224.

[2]马玲，梁胜增.利用变量代换求不定积分的方法探讨[J].科技向导，2011（27）：130.endprint