从混合模空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积

2018-01-02 03:14
赤峰学院学报·自然科学版 2017年23期
关键词:范数子集微分

高 超

(连云港开放大学,江苏 连云港 222006)

从混合模空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积

高 超

(连云港开放大学,江苏 连云港 222006)

文中主要讨论了单位圆盘上混合模空间到加权型空间上的算子D2uCφ的有界性和紧性,得到了混合模空间到加权型空间上的算子D2uCφ是有界算子或紧算子的充要条件.

2阶微分算子;加权复合算子;混合模空间;加权型空间

1 引言

首先介绍一些文中将要用到的记号,记复平面上的单位圆盘Δ={z∈C:||z|<1},H(Δ)表示Δ上的所有解析函数的集合.称在[0,1)上的取值正的连续函数ø为正规函数,若∃δ∈[0,1)以及 s,t,0<s<t,使得

对于 0<p,q<∞,ø为正规函数,若 f∈H(Δ)且

其中

则称函数 f∈H(p,q,ø).当 1≤q<∞ 时,H(p,q,ø)是以 ||·||H(p,q,ø)为范数的 Banach 空间.当 0<q<1 时是以 ||·||H(p,q,ø)为半范数的Fréchet空间,不是 Banach 空间.当 0<p=q<∞ 时,H(p,q,ø)是Bergman型空间,特别的当时,H(p,q,ø)是加权Bergman 空间其中 -1<α<∞.μ(z)为 Δ 上的正的连续函数称为权.若 f∈H(Δ),且则称 f∈Hμ,Hμ是以 ||f||μ=supμ(z)|f(z)|为范数的 Banach 空间.

文献[1]中研究了复合算子;文献[2]中研究了复合算子与一阶微分算子的乘积;文献[3],[4]中研究了一阶微分算子与其它算子的乘积;文献[5],[6]中分别研究微分算子与复合算子的乘积以及加权微分复合算子.受上述文献启发,文中讨论了2阶微分算子与加权复合算子的积:

得到了混合模空间到加权型空间上的算子D2uCφ的有界算子和紧算子的充要条件.文中字母C是一个正常数,不同的地方可以不同.

2 预备引理

引理 2.1[6]设 0<p,q<∞,ø是正规函数,f∈H(p,q,ø),那么对于任意自然数n,存在一个与f无关的正常数C,使得

由Montel定理及紧算子定义,可得出下面的引理.

引理2.2设u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射,μ是权,0<p,q<∞,ø是正规函数,则算子 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子的充要条件是D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子且对于H(p,q,ø)中在Δ的紧子集上一致收敛于0的任意有界列(fk)k∈N有 ||D2uCφfk||μ→0,k→∞.

3 主要定理及证明

定理3.1设u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射,μ是权,0<p,q<∞,ø是正规函数,则算子 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子当且仅当下列三式成立

证明先假设(1),(2),(3)成立,对于任意 f∈H(p,q,ø),由引理2.1可得

所以 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子.

下面假设 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子,那么存在一个正常数C使得对于任意f∈H(p,q,ø),

固定w∈Δ取检验函数

满足 fw∈H(p,q,ø),supw∈Δ||fw||H(p,q,ø)≤C 且

由于 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子,所以

固定w∈Δ,取检验函数

满足 gw∈H(p,q,ø),supw∈Δ||gw||H(p,q,ø)≤C 且

由于 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子,所以

定理3.2设u∈H(Δ),φ是Δ上的解析自映射,μ是权,0<p,q<∞,ø是正规函数,则算子 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子当且仅当D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子,且下列三式成立

证明首先假设 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子且(4),(5),(6)成立.

令(hi)i∈N是 H(p,q,ø)中使得且 hi在 Δ 上任一紧子集上一致收敛于0的序列,由假设知∀ε>0存在一δ∈(0,1),当 δ<|φ(z)|<1 时,

因为 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子,由定理 3.1 可知(1),(2),(3)成立.因为 hi是在 Δ 的任一紧子集上一致收敛于0的序列,由柯西估计可知h'i,在h"i的任一紧子集上一致收敛于0的序列,所以∃i0∈N,使得当i>i0时,有

由(7)-(12)可知,当 i>i0时有

相反地,假设 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子,显然 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是有界算子.若 ||φ||∞<1,由引理 2.2 可知 D2uCφ:H(p,q,ø)→Hμ是紧算子.当 ||φ||∞=1 时,令(Zi)i∈N∈Δ 是使得 |φ(Zi)|→1,i→∞ 的点列.

〔1〕Zhao Ruhan.Composition operators from Bloch type spacesto Hardy and Besov spaces [J.]Journalof MathematicsAnalysisand Application,1999,233 (2):749-766.

〔2〕Stevi′c S.Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔3〕刘晓曼,于燕燕.从H∞到Zygmund空间微分算子与乘子的积[J].徐州师范大学学报(自然科学版),2011(01).

〔4〕于燕燕,刘永民.从混合模空间到Bloch-型空间微分算子与乘子的积[J].数学物理学报,2012,32A(1):68-79.

〔5〕Stevi′c S Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔6〕LIU Yongmin,YU Yanyan.Weighted differentiation composition Operatorsfrom mixed-norm spacesto Zygmund spaces [J].Numerical Functional Analysis and Optimization,2010,31(8):936-954.

O177.2;O174.5

A

1673-260X(2017)12-0011-03

2017-06-11

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