从Bloch空间到加权型空间上二阶微分算子与乘子的积

李 涛

（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

从Bloch空间到加权型空间上二阶微分算子与乘子的积

李 涛

（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

文中讨论了单位圆盘上Bloch到加权型空间上的算子D2Mu的有界性和紧性，得到从Bloch空间到加权型空间上的算子D2Mu是有界算子以及紧算子的充要条件.

二阶微分算子；乘子；Bloch 空间；加权型空间 MR（2000）主题分类：47B38；47B33；30D45；46E15

1 引言

文献[1]，[2]分别研究了复合算子和复合算子与一阶微分算子的乘积；文献[3],[4]中研究了一阶微分算子与其它算子的乘积；文献[5]研究微分算子与复合算子的乘积,文献[6]，[7]研究了Bloch空间，文献[8]研究了有界解析函数空间上二阶微分算子与乘子的积.文中讨论了二阶微分算子与加权复合算子的积：

得到了从Bloch空间到加权型空间上的算子的有界算子和紧算子的充要条件.文中字母C是一个正常数，不同的地方可以不同.

2 预备引理

引理2.1[5,6]如果,那么对于任意正整数n，

引理 2.2[5]如果f∈B，那么

由紧算子定义以及Montel定理，可得出下面的引理.

引理 2.3如果u∈H(Δ),μ 是权,那么算子D2Mu:B→Hμ是紧算子的充要条件是D2Mu:B→Hμ是有界算子且对于B→Hμ中在Δ的紧子集上一致收敛于0的任意有界列(fk)k∈N有

3 主要定理及证明

定理3.1 设u∈H(Δ),μ 是权,则算子D2Mu:B→Hμ是有界算子当且仅当下列两式成立

证明先假设（1），（2）成立，对于任意 f∈B，由引理2.1，2.2可得

|(D2Muf)(z)|=|(u(z)f(z))"|

由于所以 |u'(z)|≤C(1-|z|2)，所所以D2Mu:B→Hμ是有界算子.

下面假设D2Mu:B→Hμ是有界算子，那么存在一个正常数C使得对于任意f∈B，

取w∈Δ,以及检验函数

满足 fw∈B,supw∈D||fw||B≤C 且

由于D2Mu:B→Hμ是有界算子，所以

取w∈Δ，以及检验函数

满足 gw∈B，supw∈D||gw||B≤C 且

由于D2Mu:B→Hμ是有界算子，所以

由于D2Mu:B→Hμ是有界算子，所以

定理 3.2设 μ∈H(Δ),μ 是权，则算子D2Mu:B→Hμ是紧算子当且仅当D2Mu:B→Hμ是有界算子，且下列两式成立

证明首先假设D2Mu:B→Hμ是有界算子且（3），（4）成立.

令(ki)i∈N是 B 中使得且Ki是Δ上任一紧子集上一致收敛于0的序列，由假设知∀ε＞0存在一个δ∈(0,1)，当 δ＜|z|＜1 时，

因为 D2Mu:B→Hμ是有界算子，由定理 3.1可知（1），（2）成立，由（2）成立可得因为 ki是 Δ 上的任一紧子集上一致收敛于0的序列，由柯西估计可知在Δ的任一紧子集上一致收敛于0的序列，所以∃i0∈N，使得当 i＞i0时，有

由（5）-（9）以及∀ε＞0 存在一个 δ∈(0,1)，当 δ＜|z|＜1 时，可知，当 i＞i0时有所以由引理 2.3 可得 D2Mu:B→Hμ是紧算子.

相反地，假设D2Mu:B→Hμ是紧算子，显然D2Mu:B→Hμ是有界算子.令的点列.

取检验函数 fi(z)=fzi(z)，那么 fi(zi)=0，f'i(zi)=1，f"i(zi)=0，fi∈且fi在Δ的任一紧子集上一致收敛于0，由引理2.2可得在上式两边令i→∞，可得成立.取检验函数，gi(z)=gzi(z)，可得（4）式成立.取检验函数hi(z)=hzi(z)以及三角不等式可得（3）式成立.

〔1〕Zhao Ruhan.Composition operators from Bloch type spaces to Hardy and Besov spaces[J].Journal of Mathematics Analysis and Application,1999,233(2):749-766.

〔2〕Stevi′c S.Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk[J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔3〕于燕燕,刘永民.从混合模空间到Bloch-型空间微分算子与乘子的积[J].数学物理学报,32A(1)(2012):68-79.

〔4〕刘晓曼,于燕燕.从H∞到Zygmund空间微分算子与乘子的积[J].徐州师范大学学报(自然科学版)，2011(01).

〔5〕Stevi′c S Composition by followed by differentiation from H∞and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

〔6〕Zhu K H,Bloch type spacesofanalyticfunctions,Rocky Mountain J.Math,1993,23(3):1143-1177.

〔7〕张超.单位球上加权Bergman-Nevanlinna空间到Bloch-型空间上乘法,复合,微分算子的乘积(英文)[J].纯粹数学与应用数学,2016,32(3):271-287.

〔8〕高超.有界解析函数空间上的算子D2Mu的有界性和紧性[J].长沙大学学报,2016,30(5):5-6.

O177.2；O174.5

A

1673-260X（2017）12-0001-02

2017-10-13