让作图教学引领几何定理学习的实践与思考——以“中心对称图形”单元教学设计为例

蒋安邦

（江苏省南京市金陵中学西善分校）

让作图教学引领几何定理学习的实践与思考
——以“中心对称图形”单元教学设计为例

蒋安邦

（江苏省南京市金陵中学西善分校）

作图不仅是几何解题中的有效方法，更是提升学生的识图能力和几何模型意识的有效手段.中心对称图形的教学以“作图”这一操作性学习活动为主线，引导学生发现、探究特殊四边形的性质与判定方法，在操作中构建知识体系，体会由一般到特殊的数学思想方法.

作图教学；中心对称图形；教学设计

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一、设计前的思考

作图，是数学学习的基本功，体现的是一种数学的素养，培养的是学生动手、动脑的习惯.近几年来，随着信息技术不断与教学相融合，数学课堂内外都发生了很多变化.课堂上，教师不需要用粉笔、直尺和圆规作图，而是用诸如ppt、几何画板、超级画板等软件画图，这些软件不仅能展示图形，还可以根据需要对图形进行动态的演示，大大增加了学生的几何直观，提高了几何课的课堂效率.课后，学生也不需要拿起尺子和铅笔在本子上画图，而是在由教师精心编写和印制的学案或者练习册上，对照电脑打印出来的标准图形答题.同时，中考和各种重大考试所采用的电脑标准化阅卷的方式，使得单一作图或画图的试题逐渐减少.

可以说，在中学数学的课堂里，除了少数几节尺规作图的课程以外，作图和画图都渐渐淡出了中学生的数学学习，学生的作图和画图的能力没有得到应有的培养.

“中心对称图形”是苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册中的一个重要章节，这个章节有9条定义、10条性质定理、9条判定定理，共计28条定义、定理.这些定义、定理结合起来就是变化多样的性质运用和判定思路.每一届学生学到这里，都感到比较困难，教师在课堂上花了不少时间来讲解定理，用各种方式梳理和罗列定理，大量的例题和训练，仍然很难取得好的教学效果.学生似乎永远是“讲解能听懂，题目做不出”的状态.

回顾笔者自己以前的教学设计，其实本章的各种几何图形都存在着明显的联系，只是这些联系并不是学生自己挖掘出来的，所以他们不能很好的内化.那么如何才能促使学生自主探索图形之间的联系呢？笔者想到了用作图来串联这些图形.

二、让作图成为线索的教学尝试和实践

本章的课程设计是由旋转变换出发，引出中心对称，再开始从平行四边形到特殊平行四边形的性质及判定的学习.这一章的特点是定义、定理很多，各特殊四边形的性质运用和判定问题灵活多变，学生如果不能真正系统地理解图形之间的关系，会感到学习非常困难.笔者认为，旋转到中心对称、平行四边形到特殊平行四边形，这一章的学习就是从一般到特殊的过程.这一过程中，应有一条“主线”将诸多的几何对象、定理进行串联，形成系统，才能使学生真正掌握并合理应用.笔者在教学实践中，就尝试以“中心对称作图”作为本章的“主线”，整合教材教学内容，引领学生通过任务型作图，进行定义和定理的生成型学习.

1.“平行四边形性质”设计思路

在本节课之前，学生学习了旋转和中心对称的作图.

学完中心对称作图后，教师留给学生的作业是作△ABC关于点O的中心对称图形.

学生问：点O在哪儿？

教师答：你自己找！

聪明的学生自发的对点O的位置进行了分类作图（没有发现需要分类的学生，在看到其他学生所作的图形时，也会意识到需要对对称中心的位置进行分类），经过对作业的整理，根据对称中心与三角形不同的位置关系，共有图1～3这三种图形.

图1

图2

图3

在课堂上，教师用图1～3来引入，提问学生：点O在三角形的一边上时，是否还有值得我们研究的特殊位置呢？从而引导学生考虑到点O恰是一边中点的情形，并在课堂上画出图4.

图4

通过绘制图4，学生发现了在小学阶段就有一定了解的图形——平行四边形，并从作图中，生成了与教材不同的对平行四边形的定义：任意三角形与关于其一边中点的中心对称的三角形，共同构成的图形是平行四边形.

教师请学生结合作图过程，思考平行四边形有哪些性质，并在小组内进行交流和讨论.

这一教学环节取得了非常理想的效果.学生从作图过程出发，首先提出了“平行四边形是中心对称图形”这一猜想，结合作图，发现在任意平行四边形中，通过连接对角线，可以对平行四边形的中心对称性进行验证.进而在交流中逐渐明晰了“边”“角”“对角线”的各种性质，甚至对平行四边形被对角线所分得的各个三角形之间的全等或者面积相等的关系也有了发现和思考.整个过程中，教师的引导极其有限，大部分结论都是由学生自主提出的，并且能够以作图过程为依据，对猜想进行证明.

本节课结束时，教师提问：三角形的中心对称作图有两个要素，一个是对称中心，还有一个是什么？

学生答：还有三角形.

教师问：今天我们把对称中心特殊化，放在三角形一边的中点上，得到了平行四边形.那么同学们想一想，还有什么值得我们研究的？

学生想了想回答：三角形也可以特殊化.

教师问：哪些是特殊三角形？

学生答：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形……

于是就产生了课后的作图作业：作特殊三角形关于其一边中点的中心对称图形.

2.“矩形、菱形、正方形”设计思路

在后面的课上，教师和学生共同对作业中的图形进行整理和分类，归纳出图5～7的三个特殊四边形.

图5

图6

图7

通过对所作图形的观察和思考，学生首先发现了“矩形、菱形、正方形都是中心对称图形”“矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形”等结论.

教师问：能给矩形下个定义吗？

学生答：直角三角形与关于其斜边中点中心对称的三角形，构成的四边形是矩形.

这是一名学生由作图生成的定义，缺点是不利于公理化的证明，于是教师再问：我们已经知道任意三角形关于一边中点对称后得到的四边形是平行四边形了，难道我们还要从头来定义矩形吗？能不能在平行四边形的基础上来给矩形下定义呢？

学生思考和讨论后，回答：有一个直角的平行四边形是矩形.

教师问：那么菱形呢？

……

通过这个教学环节，学生由作图找到了特殊平行四边形与平行四边形之间的联系，并将矩形、菱形、正方形的定义与平行四边形联系起来，构成了一个整体.同时，有了研究平行四边形性质的过程和经验，对特殊平行四边形性质的研究也就水到渠成了.

三、对以作图为“主线”的教学设计的反思

笔者在本章的教学实践中感到，教学时课堂气氛比较活跃，画图、交流、讨论，学生的注意力比较集中，动手、动脑、动口，主动性得到了发挥.接受能力和学习基础不同的学生，都能在操作和交流中感受到各种四边形的联系，课后即使有所遗忘，也可以通过回忆作图和研究过程，重新理清思路.在综合四边形的性质和判定问题的应用中，学生表现出较好的灵活性.经过对教学过程的反思，笔者认为作图对本章教学的作用体现在以下几个方面.

1.学生动手作图，创设自然的问题情境

著名教育学家苏霍姆林斯基曾说过，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.这样的论断给予了我们数学教学的启示，那就是建立有逻辑的教学过程，合理的教学情境，引发学生去发现、研究、探索知识，让学生成为学习的主体.

“中心对称图形”章节的学习研究对象比较多，苏科版教材八年级的情境大部分是生活情境引入，通过生活中的平行四边形、矩形等四边形的图片，展开对四边形的研究，这种情境贴近学生的生活实际.而通过作图发现平行四边形、矩形等四边形的方法，不仅使研究对象自然的呈现，更使得学生在动手作图的过程中，对四边形的构成特点有了一定的认知，为后面对四边形的性质定理、判定定理的研究的开展打下了基础.通过作图还可增加数学的味道，同时，学生研究自己画出来的图形，也有利于激发学生的探索兴趣.

2.学生动手作图，丰富了几何课堂活动经验

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，把重视“双基”改成“四基”，增加了“基本思想”和“基本活动经验”两个基本要求.

在几何教学中，我们怎样积累学生活动经验？教材上经常有剪一剪、拼一拼、折一折、量一量等操作性活动，而作图是一种更有数学价值的活动.作图不仅积累了学生对图形的认知经验，同时它比拼、剪、折等操作活动更能引发理性的分析和思考.

在本章的教学中，学生一方面通过作图，调动了手、眼、脑共同工作，另一方面有理性思考的活动经验，使“给矩形下个定义”“探索平行四边形的边有哪些性质”之类的问题有了很好的出发点和研究的依据.数学活动经验在于积累，更在于提升.活动的经验不经过提升、内化和概括，难以成为学习的内在支撑.本章学习中的作图活动的最终目的，在于帮助学生内化知识，并为学生研究其他几何图形的性质和判定问题提供了可借鉴的活动经验.

3.学生动手作图，利于发现和建立知识体系

数学家弗赖登塔尔说过，学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.实践证明，学生不能对所学的知识进行“再创造”，他对学习的内容就难以真正理解，更谈不上灵活运用了.

“中心对称图形”章节的一个难点就是定理比较多，容易混乱和遗忘.在使用定理解决问题时，更加需要学生对定理在理解的基础上建立清晰的框架.在本章学习中，学生从旋转作图特殊化得到中心对称作图，从任意三角形的中心对称作图得到平行四边形，又从特殊三角形的中心对称作图得到矩形、菱形、正方形，这个反复经历的从一般到特殊的过程正是对所学内容的“再创造”，经过自己“创造”出来的图形和归纳证明过的定义、定理，知其然，也知其所以然.这样的过程，使得学生不仅能建立知识体系，还能灵活的应用所学的知识解决问题.

四、结束语

《标准》指出：在数学教学活动中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者.这样的角色定位集中体现了以学生发展为本的目标取向之下教师和学生之间应具备的关系.毫无疑问，今天的数学课堂，教师所做的一切都是为了学生的发展，但是，对学生学习主体地位的强调并不意味着教师教学主导性的削弱，相反，是对教师和数学课堂提出了更高的要求.

在我们的课堂上，教师如何从一个单纯的知识传授者转变成数学学习的组织者、引导者、合作者？如何能真正调动学生的思维，让学生发挥主动性和主体地位？这些问题都等着广大的数学教育同仁在实践中不断思考、发现和践行.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］罗新兵.数学活动经验的案例分析［J］.中学数学教学参考（中旬），2013（3）：6-8.

［3］郦兴江.从一则案例看“问题式脚手架”的搭建功能［J］.中学数学教学参考（中旬），2013（3）：17-18.

2017—09—30

蒋安邦（1982—），女，中学一级教师，主要从事基于小班化教学实践的教学策略研究.