初中数学资优生学习特征对教材编写的启示

2018-01-02 10:44刘永东吴康

中国数学教育（初中版） 2017年12期

关键词：教材思维数学

刘永东，吴康

（广东省广州市天河区教育局教研室；华南师范大学数学科学学院）

初中数学资优生学习特征对教材编写的启示

刘永东，吴康

（广东省广州市天河区教育局教研室；华南师范大学数学科学学院）

基于国内数学资优生教育的研究现状，结合现行初中数学资优生学习几何的案例特征分析，阐述教材对资优生学习的问题影响，启示不同阶段教材编写需注重思维训练体系的一致连续性，以及注重类比方法创造性解决问题和高层次的数学应用训练，建议增加在兼顾基础上逐层拔尖的应用特色栏目编写，以更好地实施与普通教育相融合的数学资优生培育的校本充实.

数学资优生；超常教育；启示

一、何为数学资优生

对资优生有很多相同意思的名词术语，如优等生、尖子生等，在很多专家的界定中大致有如下描述：主动学习、成绩稳定、兴趣浓厚、认知成绩好、学习效率高等.概括起来，就是对学科学习有强烈兴趣，对学科中的问题有敏锐观察力、丰富想象力和创造力，以及超群的分析问题和解决问题能力，善于抽象和概括、思考和判断，思维独特，成绩优异.本文不做概念区分，把对数学学习上具备这些特征的学生称之为数学资优生，是指在数学方面智力明显超过同龄常态学生发展水平或具有某种特殊才能的学生，主要采用国外学者Johnson的说法界定：对数学具有浓厚的兴趣、数学学习速度快、对所学的数学知识深刻理解、能用独特的方法解决数学问题、具有寻求最佳方法解决数学问题的能力、不需要督促，能主动解决数学问题的学生.具体地讲，他们在数学学习上具有思路清晰、敏捷的思维能力，包括数学抽象力和想象力，有较高的问题分析和解决能力以及实践能力，同时具备较好的概括能力和创造力等特点.

二、数学资优生的学习特征和培养现状

对资优生教育即是为资优生提供适合的教育形式和机会.目前国内培养数学资优生的途径主要是重点中学、中学理科班、少科班和各类竞赛培训，主要采用充实、区分和加速升级的三种基本途径开展课程教学.大多采用：通过“纵向整合”与“横向拓展”优化教学内容；通过专题探究提升自主研究和实践创新水平；以及在符合能力培养扬长补短的原则下设计校本特色短期课程，以发挥学生自主性、能动性和探究性.反映在通过加快和加深对教材的学习和拓展，通过学校的校本课程进行集中培训学习，通过学校数学文化节开展专项系列研究，并聘请大学教师开班指导，或者是在课堂的分层教学，或者是微课、慕课的较为系统的课外自学和研修等方式培养.例如，从课堂到奥数系列的培训，兼顾中考压轴题和培优竞赛等课程，虽然学习内涵更加丰富，内容方式多样，但缺乏这一方面创造性的数学教师，特别是农村地区更为严重.这些表明了教材无法满足资优生的需要，学校的校本课程也无法满足其需要.因此，有必要重新审视和研究这一群体的学习特征.

以近三年广东省广州市中考数学达到140分以上的学生比例统计，分别是0.31%，0.65%，1.05%，若按照资优生数量占全部学生总数的2.2%计算，则说明实际享受资优生教育的学生远没达到这个数目.而来自一个自我报告成绩较高的学生问卷调查，学生对课堂产生厌倦感的下述归因是：认为教材枯燥乏味占53%；认为教材没有实用价值占21%；认为与教师缺乏交流互动的占56%.这说明了教材编制与教师培养的不足，严重影响数学资优生的发展，特别是现行教材习题编写缺乏针对资优生的学习，特别是缺乏动态的、发展的综合科学思维方法与创新.由于受到课程、学制、教学与评价方式等因素的限制，导致缺乏挑战性的校本资优生数学培育课程资源，一些学校开展的数学资优生培养难以有机会让资优生去寻找或使用自己的策略和结构，而普通班教学缺乏针对高能力学生需求的区分教学措施，以至于更具个别化教学的缺失，等等.因此，数学资优生教育仍有许多问题需要进行深入探讨.

三、初中数学资优生学习案例与启示

在当前，大多数地区采用地段招生，学生没有做区分，在同一个班级一起学习，教师需要思考如何为数学资优生提供适切的教育机会，使教材充分发挥其潜能.特别是思考如何基于教材设计习题或探究类内容来促进学生思考和学法指导，如何在兼顾基础、逐层拔尖中推行因材施教，从而努力追求与普通教育融合取向的优质教育，更值得探究.笔者选取广东省广州市三所教学质量较高的学校，收集初中数学资优生的学习教材案例，并做分析研究和思考启示.

1.案例与启示

案例1：全等三角形判定的应用深化与拓展.首先看教材设置的两道思维训练的习题.

例1如图1，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：BC=AB+CD.

图1

例2如图2，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.

提示：过点E作EF⊥AD，垂足为点F.

图2

解决例1需要构造全等三角形，在构造中需要采用截长补短法，这必须在转换、化归的数学思想引领下进行.学生在学习中出现两种补短的相似作法：一是“延长CD至点G，使DG=AB，连接EG”；二是“延长CD至点G，使CG=CB”.前者无法证得B，E，G三点共线，后者却可以得证.通过微小的技巧差别比较，是对资优生学习能力和方法指导的重要体现，看似平淡无奇的题目，蕴藏着不一样的思维，则需要教师的深度挖掘.

例2是在学习“等腰三角形的性质和判定”后，教材对例1增加的变式练习，但为照顾一般学生的学习能力，增加了提示.对此无可厚非，若是针对资优生教学，则需要淡化提示，甚至去掉提示，以让学生能够进行深度的思考和尝试，去寻求和发现题设与结论之间的关联，进而要求学生大胆提出猜想，能否改编题目，让题目更富生命力.于是就有如下结论出现：保持条件AB∥CD，再从“①E是BC的中点；②AE⊥DE；③DE平分∠ADC；④AE是∠DAB的平分线；⑤AD=AB＋CD”五个条件中任选两个作为题设，即可推理证明另外三个结论.

启示之一：不同学习阶段，开展思维变式训练的方法不一样.教材的习题编写，不能孤立题目之间的关联，需要保持题目之间研究学习的一致性和连续性，以建立不同阶段的思维训练体系，能让教师去思考其中的内涵关联，进而通过师生的再创造，不仅提升学生学习数学的能力，而且促进了教师的深度思考，则对教师的教和学生的学起到创新与发展的良性作用.资优生的思维是发散性的，他们不放过解题过程的“副产品”：或探讨有没有其他结论；或探讨逆命题是否成立；或弱化条件，看能否得到同样结论；或尝试把题目上升为定理的形式.解一道题往往可引出几道新题，逐一解决并存入脑海，使知识体系向各个方向延伸.同时，他们的思维又是聚合的，通过一题多解、一题多变积累了充分的感性认识后，能去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，把感性认识上升为理性认识，做到多解归一、多题归一，从而抽象出问题的本质.

因此，在教材拓广练习的设置上，通过知识的连续性和生长点来衔接好不同知识内容的深度，通过习题分层次编写的深度和广度的能力创新，以此建立不同阶段数学知识之间的联系，并注重提醒教师对不同时期的题目进行多角度研究，在认知基本问题基础上进行迁移和拓展，突出题目的典型性、关联的纵横性、思考的深刻性、渗透的自然性、反思的可探性，以动态发展的综合科学思维方法和创新来促进资优生的智慧生长.

案例2：在拓广探索栏目中，教材设置证明命题“三角形三条中线交于一点且交点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”（如图3，原题带有解题提示）.

图3

解题方向：当删去提示后，资优生的解法研究既典型又多样.（1）分别作BO，CO的中点D，E，证四边形DENM为平行四边形；（2）分别作BO，BC的中点D，E，证OC=2DE=2OM；（3）分别延长OM至点D，ON至点E，使DM=OM，EN=ON，证四边形DBCE为平行四边形；（4）延长OM至点D，使DM=OM，连接DA，利用全等证AD∥BN，再通过反证法证明点O是CD中点；（5）连接AO，证明△BOC与△NOC的面积比为2∶1；（6）连接MN，证△MON∽△COB.这六种解法的基本思路是：若从全等角度思考就必须把短变长或长变短，然后通过全等得证；若从相似角度考虑，则证明线段比等于定值.而在证明BC边上的中线一定过点O时，他们均是在这些解法辅助线基础上想到的，或用反证法或同一法或证明三点共线等.

启示之二：对于这个题目，同一个教学班，多个学生想到多种方法是很正常的；若同一个班的学生都想到同一种方法就不正常了.不恰当的提示，往往会把正常的事情变得不正常.教材设置提示，应该意在让“提示”帮助学生增长能力，而不是只解决一个问题.若一名学生想到多种方法，说明这名学生的思维很全面，战略清晰，战术多样，符合资优生的学习特征.由此，教材若能给教师提供一些能够拓展深、广度的经典习题，以此在问题类型上进行归纳，在思路上进行分类，让方法随境而出，同时就能让教师通过这些题目进行变式拓展来满足资优生的学习需要，避免了教师去寻求竞赛类的内容来开展研习.例如，针对一道题的解法探究，让资优生通过多途径思考，探寻多方法的求解方式，教师进而带领学生开展变式和推广应用研究，可以是条件或结论变式，可以是条件的特殊化思考或一般式的研究，更可以是跨学科应用探究等，真正展现资优生能力，引导他们对数学进行更深入的思考和研究.

案例3：教材通过构造平行线证明三角形内角和定理，在推导多边形内角和公式时，不少资优生都有与书本分割法相异的想法，用“平行线法”（如图4）和用“补”法推导（如图5）.

图4

图5

图4证法直接利用平行线的性质以及平角特征推导，与证明三角形内角和的理念一致，说明教材的安排具有一定的延续性.图5的“补”法研究是学生基于“割”法的启示，将多边形补成一个三角形，进而通过计算内角和求解.但尝试几个后，发现七边形的特殊个例不能够满足，于是提出新的问题：是不是所有的多边形都能补成三角形？这个学习过程展现了资优生学习的严谨性，也体现了他们学习数学的创造性.通过不断地衍生问题，增强了学生的三大能力：思维能力、实践能力和创新能力.

启示之三：促进数学资优生思维发展和能力提升的一个关键切入点是数学学法指导.我们知道，类比既是学习数学的重要思想，也应该是教材编写的重要方法，为此，教材练习设置应注重创造性解决问题和高层次的数学应用训练，以能起到激发学生学习能力的功效.例如，设置一个基本题，让教师用基本题开展学生的讲题活动，通过设置提问环节，开展以问题驱动和教师评价为主的研究型讨论活动，带领学生发现或找到问题的本质，分析和分享资优生认知过程中的思维经验，并在课后撰写数学研究小报告、解题研究反思等形成文本，完善和丰富认知经验以及拓展能力.此外，基于教材有效激发资优生的领悟力和思维能力的方式是多样的，如通过群体激发、目标激发、成败激发和创新激发等，以进行高层次的思维技能创造性的解决问题.但这些方面的学法指导在教学中比较缺乏，不仅仅是教材编写问题，更多的是教师缺乏使用和挖掘教材的理念和能力，教材编写时需要体现这方面的梳理和引导，适当结合知识在教材中体现.

2.思考

前面调查提及资优生对教材不感兴趣，由此引发思考，教材需要给学生提供不同难度的内容材料，以尽可能让他们感兴趣和认真学习.对此，国外教科书在教材编写中有三点值得我们借鉴和思考.

第一点是教材设置数学应用特色栏目，并开发配套教材，以照顾不同学生的学习需要.虽然国内教材也有这方面的栏目，但提供的好材料不多，主要是受区域教育水平影响和教科书厚度限制，无法设置更多栏目让教师充实教学活动.而供教师选择的配套缺乏，导致让教师通过多元化的教学来启发、培育资优生的关键能力的缺失.

第二点是借鉴香港资优教育的“三层推行模式（Three-tiered implementation mode）”的前两层来进行教材编写.在第一层面上，尽可能让教师在学校内，依据教材内容或模块培养高潜能学生，以获得学习数学学科的关键能力.在第二层面上，通过逐层拔尖，弹性化编写合适的合作学习探究的应用特色栏目，供教师让能力相似的学生一起接受系统训练和合作学习探索.这种基于教材做适当的充实或调整，以实施与普通教育相融合的资优生培育，应该是教材编写的一种新方式.例如，在案例3的基础上设置提升充实的教材，主要训练学生在新情境下对问题的抽象能力和想象能力，即数学智慧.由于篇幅限制，该案例只呈现相关题组（练习的第1～8题）.

练习：1.如图6，在奇异三角形ABC中，∠A=0°，A1B∥A2C.求证：∠A+∠B+∠C=180°.

备注：奇异在于这里的点A是指A1，A2在无穷远的地方的交点，后面题目类似，需要想象力.