以四边形为背景的“新定义”型试题赏析

沈迎华

（江苏省淮安市淮阴中学）

以四边形为背景的“新定义”型试题赏析

沈迎华

（江苏省淮安市淮阴中学）

“新定义”型阅读理解题一般构思新颖别致，内容丰富多元．这类问题要求学生根据阅读所给的定义获取一定的信息来解决提出的问题，既考查学生基础知识，又考查学生自主探究、推理迁移等能力．以四边形为背景的阅读理解题主要是从四边形的要素“边、内角、对角线”出发，定义一种新的特殊四边形，从而根据特殊四边形的性质来解决综合问题．

中考试题；四边形；考点分析

通过对近两年中考试题的分析，笔者发现各地中考试题中常出现以四边形为背景的“新定义”型阅读理解问题，这类“新定义”型阅读理解题一般构思新颖别致，内容丰富多元，清晰地展示了一类课题学习的研究模式，即“定义—问题—判断—探究—应用”.因为四边形的结构要素是边和角，相关要素是对角线，所以这类题目往往从边、角、对角线的角度定义一个新的特殊四边形，核心是考查学生图形研究的一般观念，即从定义出发，研究性质和判定，从图形构成要素和相关要素角度研究，是考查学生三角形、平行四边形等图形研究的知识、思想、方法和一般步骤.在问题的解决中，不仅要重视最终结果，更要重视理解、自主探究、推理迁移的过程，帮助学生实现从模仿到创造的思维过程构建.下面以几道中考试题为例，评析命题特点及解题策略.

一、从边出发，定义特殊四边形

例1（2015年湖北·咸宁卷）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：（1）如图1，已知点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，在方格图中画出以格点为顶点，AB，BC为边的两个对等四边形ABCD.

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形.

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，点A在PB边上，且AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

图1

图2

图3

解：（1）如图4所示（画出2个即可）.

（2）如图5，连接AC，BD，

易证得Rt△ADB≌Rt△BCA.

所以AD=BC.

因为AB是⊙O的直径，

所以AB≠CD.

因此四边形ABCD是对等四边形．

图4

图5

图6

（3）点D的位置如图6所示.

①若CD=AB，此时点D在点D1的位置，CD1=AB=13.

②若AD=BC=11，此时点D在点D2，D3的位置，AD2=AD3=BC=11.

过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足分别为点E，F.

综上所述，CD的长度为13，

【评析】此题从边的角度定义了特殊四边形——对等四边形，从定义可以看出对等四边形的特殊之处在于一组对边相等，而另一组对边不相等.第（1）小题根据对等四边形的定义画图即可；第（2）小题只要说明四边形ABCD满足AD=BC，而另一组邻边AB≠CD即可；第（3）小题从新定义可知，对等四边形不明确哪一组对边相等，所以要注意分类，可分为两种情况：①若CD=AB，此时点D在点D1的位置；②若AD=BC，此时点D在点D2，D3的位置，再利用三角函数、勾股定理和矩形的性质，求出相关线段的长度.例1主要考查了三角形、四边形、圆、三角函数等有关知识，渗透了分类讨论的数学思想，注重对学生动手能力的考查.

二、从角出发，定义特殊四边形

例2（2016年浙江·舟山卷）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．

（1）概念理解：

根据上述定义举一个等邻角四边形的例子.

（2）问题探究：

如图7，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由.

（3）应用拓展：

如图8，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图9），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积.

图7

图8

图9

解：（1）矩形或正方形.

（2）AC=BD，理由略.

（3）分如下两种情况考虑.

①如图10，当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，过点D′作D′F⊥CE交CE于点F.

②如图11，当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E.

图10

图11

【评析】此题从角度方面定义了特殊四边形——等邻角四边形，从定义可以看出等邻角四边形的特殊之处在于四边形有一组邻角相等.第（1）小题在理解定义的基础上，很容易得到矩形或正方形的邻角相等，满足等邻角四边形的条件.第（2）小题的结论为AC=BD，理由：如图12，连接PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得PA=PD，PB=PC.进而可得∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB.再由∠DAB=∠ABC，可得∠APC=∠DPB.利用SAS得到△APC≌△DPB.利用全等三角形对应边相等即可得证.第（3）小题要分两种情况考虑：①当∠AD′B=∠D′BC时；②当∠D′BC=∠ACB=90°时，在具体的计算中，将一般的四边形面积转化为直角三角形和特殊的四边形面积的和或者差．例2主要考查了中垂线、三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识，渗透了分类讨论、转化的数学思想．

图12

例3（2014年浙江·舟山卷）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.

（1）已知：如图13，四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，求∠C，∠D的度数.

（2）在探究等对角四边形性质时:

①小红画了一个等对角四边形ABCD（如图14），其中AB=AD，∠ABC=∠ADC，此时她发现CB=CD成立，试证明此结论.

②由此小红猜想：对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等.你认为她的猜想正确吗？若正确，试证明；若不正确，试举出反例.

（3）已知：在等对角四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，AD=4.求对角线AC的长.

图13

图14

解：（1）∠D=∠B=80°，

∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-70°-80°-80°=130°．

（2）不正确.

反例：如图15，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD.

（3）①如图16，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC交于点F.

图15

②如图17，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.

得A

图16

图17

【评析】此题从角度方面定义了特殊四边形——等对角四边形，这个特殊四边形的特殊之处与例2不同，特殊在四边形的构成要素“对角”相等．第（1）小题根据定义和四边形内角和定理求解即可；第（2）小题只要画出满足条件等对角四边形一组邻边相等，另一组邻边不等的图形就可以说明结论不成立；第（3）小题中的等对角四边形并没有明确哪一组对角相等，所以要进行分类，第一种情况是当∠ADC=∠ABC=90°时，第二种情况是当∠BCD=∠DAB=60°时，对于每种情况需添加辅助线，将四边形问题转化为三角形问题，利用勾股定理求解．例3主要考查了多边形内角和、三角函数、勾股定理等知识，渗透了分类讨论的思想，对反证法考查也比较到位．

三、从对角线出发，定义特殊四边形

例4（2016年浙江·衢州卷）如图18，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图19，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？并说明理由.

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，猜想结论，并写出证明过程.

（3）问题解决：如图20，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长.

图18

图19

图20

解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由略．

（2）猜想结论：垂美四边形两组对边的平方和相等.

已知：如图21，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足是点E.求证：AD2+BC2=AB2+CD2.

证明：因为AC⊥BD，

所以∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.

由勾股定理，得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2.

所以AD2+BC2=AB2+CD2.

图21

图22

（3）如图22，连接CG，BE，

得△GAB≌△CAE.

所以∠ABG=∠AEC.

又因为∠AEC+∠AME=90°，

则∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG.所以四边形CGEB是垂美四边形.

由（2），得CG2+BE2=CB2+GE2.

因为AC=4，AB=5，

进而得到GE2=CG2+BE2-CB2=73.

【评析】此题从对角线的角度定义了特殊四边形——垂美四边形，从新定义看出垂美四边形的特殊性在于四边形相关要素“对角线”是互相垂直的．第（1）小题根据定义，只要说明两条对角线互相垂直即可．除了文中提供的方法，也可以利用三角形全等和等腰三角形“三线合一”的性质加以解决；第（2）小题垂美四边形的特征就是对角线互相垂直，所以猜想的结论应该和勾股定理有密切关系，证明文字命题的步骤也是此题的一个考查目标；第（3）小题主要是善于抓住图中的全等图形和第（2）小题中的结论来解决问题．例4主要考查了垂直平分线的性质与判定、勾股定理、正方形、全等三角形等知识，着重考查了学生观察、猜想、归纳、推理的能力，对学生探究能力、发现问题、解决问题的能力考查也非常的到位．

四、从边、角出发，定义特殊四边形

例5（2015年江苏·淮安卷）阅读理解：

如图23（1），如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做完美筝形．

将一张如图23（1）所示的完美筝形纸片ABCD先折叠成如图23（2）所示的形状，再展开得到图23（3），其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．

简单应用：

（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为完美筝形的是______.

（2）当图23（3）中的∠BCD=120°时，∠AEB′=_____.

（3）当图23（2）中的四边形AECF为菱形时，对应图23（3）中的完美筝形的个数为_____（包含四边形ABCD）．

拓展提升：

（4）当图23（3）中的∠BCD=90°时，连接AB′，求∠AB′E的度数，并说明理由．

图23

解：（1）正方形.

（2）80°.

（3）5.

（4）如图24，当∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形，

所以∠A=90°.

因为∠EB′F=90°，

所以∠A+∠EB′F=180°.

图24

所以A，E，B′，F四点共圆．

又因为AE=AF，

【评析】此题从边和角两方面分别定义了特殊四边形——完美筝形，完美筝形的特殊性体现在两个方面：一方面是角满足对角相等，且都是直角；另一方面是边满足邻边相等．第（1）小题考查了学生的理解能力，判断已经非常熟悉的平行四边形、矩形、菱形、正方形是否符合定义；第（2）小题将∠BCD特殊为120°，通过折叠，观察、计算、感受图形中角的内在联系；第（3）小题是完美筝形折叠后的图形特殊化——变成菱形，由此推出∠BCD=135°，再次寻找完美筝形，加深对定义的理解，整个活动过程培养了学生从复杂图形中分离出简单图形的能力．第（4）小题当∠BCD=90°时，通过画图、计算，体验几何图形的内在美．例5的题目设计很好的考查了学生的学习新知、理解新知、运用新知的能力，重视学生学习过程的考查．最后一道题的解答除了文中提供的方法，还有多种解决策略，如连接BB′，得到△BB′C是等边三角形，△ABB′是顶角为30°的等腰三角形，从而可以求出∠AB′E的度数．

总之，以四边形为背景的“新定义”型阅读理解题不仅在知识层面以四边形为载体，丰富地考查了初中阶段平面图形的性质、判定，而且在能力层面，有效地考查了学生的接受新知、抽象概括、知识运用、决策判断等能力，因而持续受到命题者的青睐．这类题目解决的策略要注意以下几个方面：首先，要对定义深刻理解，弄清楚是从哪个元素（边、角、对角线）去定义的；其次，要想一想教材中的平行四边形、矩形、菱形、正方形中是否存在满足要求的特例，特例对于理解新知是非常有效的，能够加深对概念的理解；最后，在问题解决环节，要综合新定义四边形特有的性质和三角形、四边形、圆等平面图形的一般性质来分析问题，引导学生仔细读题、动手探究、准确计算，注重转化、分类思想的应用．

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会．《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］郦兴江，严同坤，高益兰.阅读理解问题［J］.中学数学教学参考（中旬），2017（1/2）：87-92.

2017—09—18

沈迎华（1977—），男，中学高级教师，主要从事中考数学命题研究.