数形结合思想在高中数学教学中的应用探析

胡加敏

摘 要：随着新课标理念的贯彻，高中数学教育改革势在必行。笔者在本本中将就高中数学教学中数形结合思想方法的应用进行浅析。

关键词：数形结合；高中数学；数形转化

高中数学具有极强的逻辑性和应用性，在教学活动中，数形结合的数学方法能够将抽象的代数问题转换为具体的几何问题，同时还能够将复杂的几何问题转化为单纯的代数问题，实现复杂问题的简单化、抽象问题的具体化，方便学生的理解和掌握，是实现高中数学高质量教学的有效思想方法。

一、数形结合的概念

数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

二、数形结合在集合中的应用

集合是高中数学学习过程中的一个重要单元和知识点，在很多版本的数学教材中，集合是必修教材的第一个章节，是后续学习的一次方程、高次方程和多元方程的基础知识支撑。通常这一章节的课程会在高中刚开学时展开，学生正处于从初中过渡到高中的阶段，一方面需要转变初中时期的学习思路，另一方面也需要为高中数学学习打下良好基础。这也是学生接触数形结合思想方法的开端，且很多集合问题通过数形转化的方法均能有效解决。

韦恩图是集合问题中数形结合思想方法具体体现之一。这里以一个抽屉问题为例，三个抽屉中有小球若干，其中A抽屉中有红球和黑球共计40个，B抽屉中有黑球和白球共计40个，C抽屉中有白球和红球共计40个，其中红球有30个，白球50个，黑球40个。已知条件有两个：1.A抽屉中有红球10个。2.B抽屉中有白球30个。问：每个抽屉中各色球有几个。这是一个很简单的数学集合问题，单纯地使用代数方法可以解决，但是需要进行相应的计算，而将题干进行数形转化后使用韦恩图进行解题，则可以在讀完题干后就得到相应的答案：A抽屉中有红球10个，黑球30个；B抽屉中有黑球10个，白球30个；C抽屉中有白球20个，红球20个。上面通过一个很简单的例子证明了数形结合的思想方法在集合问题中应用效果，从而达到快捷有效的解题目的。

三、数形结合在方程中的应用

高中数学会涉及高次方程和多元方程，还有包含方程在内的不等式计算的相关问题。而方程是很多数学问题、实际问题的解决过程中重要的代数方法，然而有些时候方程的运算则较为困难，尤其是在底数方程、幂指数方程中，庞大的运算量往往会得到含有根号甚至更加复杂的答案，为了验证答案的正确性有时需要重新解题，而这会占用大量的时间。但是如果将方程问题实现数形转化后则很容易被理解和掌握。

四、数形结合在立体几何中的应用

立体几何一直以来是高中数学教学中的一个难点，主要是由于立体几何完全不同于以往的几何类型，以往的几何题目是二维平面的，而立体几何则是建立在三维空间的基础之上，如正方形上的一个点转化在坐标系中为（X，Y）的形式，而立体几何中的一个点转化在坐标系中则是（X，Y，Z）的形式，从坐标上来说变化不大，但整体的解题思路和解题方法则完全不同。立体几何的学习不仅仅需要学生的认知能力和理解能力，还需要学生具备较强的空间想象能力，对于很多高中学生来说，立体几何就是数学学习中的噩梦。

如果能够掌握数形转化的方法则能够轻松解决立体几何问题，如要证明空间中两条线是否垂直，如果没有明显适用的公理或定理可以使用，则可以将几何问题向代数问题进行转化，空间中的点和线时可以用三维坐标表示，如果两线坐标乘积为0，则说明其垂直，这时复杂的几何证明问题就被转化为简单的代数问题。

五、数形结合在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线是高中数学教学中的另一大难点，如果以高考为标准，其一般与导数结合作为主观题的最后一道压轴题出现，可见其在高中数学中的分量和学习难度。很多学生觉得圆锥曲线难以理解，这是由于其无法熟练使用数形结合的思想方法导致的结果。就笔者的经验来说，圆锥曲线是高中数学中必须使用数形结合的方法才能够掌握的内容。

对数形结合在圆锥曲线问题中的应用，大体上可以总结为三点：1）将代数问题图形化，即将题干中描述的转化为图形，图形能够将题干所示圆锥曲线的函数特性显示出来，如焦点、长轴、短轴等特性，方便学生理解题干。2）结合图形将函数进行化简处理，并解题。3）利用图形验证函数解的正确性，保证结果的准确性。

六、数形结合在三角函数中的应用

几乎所有三角函数问题都可以通过数形转化的方法解决，如三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，通常借助于单位圆或三角函数图象来处理。

结语：

数形结合不仅仅是一种数学方法，更重要的是一种数学学习和数学问题解决的思路，因此高中数学教学中不能仅将数形结合的方法教给学生，更重要的是要使学生形成数形结合的思想。即学生在遇到数学问题时能够第一时间想到数形结合的方法，将能够数形转化的问题进行转化操作。

参考文献：

1.刘伟.关于高中数学开放式教学模式的有益探索[J].中国校外教育（基教版），2012年12期

2.石卫东.运用信息技术改善高中数学备课效果[J].中国信息技术教育，2015年12期

3.葛梅凤.对高中数学文化内容设置的几点建议[J].新课程学习·学术教育，2011.

（作者单位：安徽省望江中学）endprint