思在本质处 琢在融合中——“鸡兔同笼”教学实践与反思

庄声财

（三明学院附属小学，福建 三明 365000）

思在本质处 琢在融合中
——“鸡兔同笼”教学实践与反思

庄声财

（三明学院附属小学，福建 三明 365000）

站在知识生长的起点上、源头处，不断经历猜测——在验证中发现规律——运用规律进行调整的全过程，促使学生主动架构，进而解决问题；从本质处入手，发现规律，体验列表法与假设法本质上的联系；利用列表在形象思维过渡到抽象思维的过程中搭建一座桥，成为发展学生思维能力的载体，做到心中有表，表中有式，通过借表悟式，以式解表，达成表式合一。

猜测与尝试；本质；假设法；融合；数学思想方法

“鸡兔同笼问题”由原来六年级学习的内容调整到四年级，这给学习带来一定的难度，教材中不仅有猜测列表法，而且呈现假设法，注重体现解决问题的不同思路和方法。实际教学中，教师往往把列表法作为一个过渡，只是蜻蜓点水，验证出鸡兔只数，接着另起炉灶，重新大笔墨地结合图示法来假设。列表法与假设法是否有本质的联系，能否借助列表帮助学生在假设中“知其然并知其所以然”，在整合中融会贯通，达到对假设法“真正意义”的理解呢？

一、在尝试中架构

“鸡兔同笼”问题是“数学广角”的一个典型课例，解答“鸡兔同笼”问题常用“假设法”，但对于四年级学生来说，理解上是有一定的困难的。如何让学生经历“假设法”来解答“鸡兔同笼”问题的生长过程，必然需要学生站在知识生长的起点上、源头处。［1］那么用“假设法”解答的起点和源头又是什么？正是比较原始的方法“猜测与尝试”，也就是“凑”，而“凑”的方法是学生比较容易理解的。如让学生在知识生长的起点上经历“凑”的全过程：

1.猜奖品的价格，根据老师提供的“高了”或“低了”的提示进行调整。回顾思路并板书：猜测——验证——调整。

2.鸡兔同笼，有8个头。

（1）猜猜可能有几只鸡几只兔？

（2）这么多猜测有什么好方法可以将所有的猜测直观地展现出来，而且不重复也不遗漏呢？（生：列表）

3.增加条件：有20条腿，现在你知道有几只鸡，几只兔吗？

（1）想想猜价格的时候，第一步做了什么事？（猜测）

（2）学生经历猜测（一只鸡7只兔）——验证（2×1＋7×4=30）——调整（2只鸡6只兔）——验证（2×2＋6×4=28）—— 调整（3只鸡5只兔）——验证（2×3＋5×4=26）这样尝试的全过程。

（3）引导思考：“如果不列式计算，能不能很快得到腿数呢？”（学生在尝试过程中及观察表格就能发现每增加一只鸡，减少一只兔就会减少2条腿）；“那为什么每次腿数都依次减少2呢？”（一只鸡与一只兔腿数的相差数）。

（4）让学生应用刚才发现的规律快速进行调整并完成表格：

【思考】在以上教学片段中，教师从学生很容易理解的原始的“凑”的方法开始，在引入时就主动建立“猜测——验证——调整”的基本结构与方法，学生在运用这一方法“凑”出结论的过程中，感悟到“假设法”的流程与雏形，在这一过程中，调整是关键与核心，如何调整？学生在经历“鸡的只数×2＋兔的只数×4是否等于腿的总数20”的验证与调整的过程，“不列式计算，能不能很快得到腿数呢？”“为什么每次腿数都减少2呢？”进一步引发学生深层思考。课上不断让学生经历猜测——验证中发现规律——运用规律进行调整，促使学生主动架构，进而解决问题，有助于他们掌握这一研究方法的基本结构，在今后的学习中实现迁移。

二、在本质处融合

学生通过列表枚举把符合问题的所有可能答案逐个找出，在“猜测与尝试”中得到问题的答案，这是一种非常实用的解决问题的策略。但仅仅把列表作为一种独立解决问题的方法，有很大的局限性，对一些数据较大的题目，学生要花费很多时间才能完成。因此在教学中，不仅要让学生学会解决问题，更要让学生抓住解题思路的核心学会思考，体验列表法与假设法在本质上的联系，让“猜测与尝试”不再仅仅是“凑”，而更具有思维含量。在教学中如何将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系从而达到融合呢？如引导学生运用规律逆向思考，进而一步调整：

1.引导学生观察表格并思考：如果要减少2条腿，鸡和兔的只数怎样变化？如果一次性要减少6条腿，鸡和兔的只数又该怎么调整?（增加一只鸡，减少一只兔，就会减少2条腿，那现在减少6条腿，就要看6里面有几个2，6÷2=3那就是减少3只兔，鸡就要增加3只）

2.引发思考：像刚才一只一只调整很麻烦，既然找到了规律，猜测1只鸡7只兔的有30条腿，而题目中，实际是20条腿，能不能利用规律一次性调整到20条？（要从30条腿调整到20条，必须减少10条腿，那10里有5个2，所以兔就要减少5只，就是7-5=2只，鸡就要增加5只，所以1+5=6只）

3.师：猜测可以从1只鸡7只兔开始，也可以从3只鸡5只兔开始，或者先猜7只鸡1只兔，然后一步调整。既然都要进行调整，我们来做个大胆的假设，假设有8只鸡，0只兔，你觉得哪种方法腿数更好计算？为了便于计算，通常假设全是鸡或者全是兔。引导学生思考完成下表：

【思考】列表法是先合情猜测（笼内有鸡也有兔，一共有8只），再一个一个地进行尝试，而假设法是“假设全部是鸡或全部是兔”来思考的，教师若能将两种方法联系起来，引导学生经历从猜测到假设的优化过程，则能较好地揭示方法的本质，有利于促进学生的理解及不同方法灵活应用。当学生感受到一个个尝试很麻烦，引导学生从合情猜测过渡到合情推理，在调整的过程中，一步步地进行优化与提升，让学生自己发现规律，总结方法，感悟出列表其实也是假设法的另一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升，两者本质上都是运用规律进行调整。如果把整个数学学习的方法体系看作一棵大树的话，引导学生大胆尝试，从本质处入手，发现规律，总结方法，这才是数学学习中具有广泛迁移性和生长性的根。［2］

三、在融合中升华

“数学广角”是人教版教材中的一个亮点，怎样让每一位学生能真正体验和感悟数学思想方法？这是教学“鸡兔同笼问题”要思考的方向。如何将数学思想方法嚼碎，以学生可以理解的简单形式，系统而有步骤地向学生渗透，在活动中体验，在运用中感悟。

如在教学中引导学生借表悟式，出示两个表格：

1.观察这两个表格，还原题意。

2.这两个表格分别是怎样假设和调整的？

3.怎么才能让表格会说话，把思路用算式表示出来。

假设全是鸡

10×2=20（条）…………（10只鸡腿数）

26-20=6（条）…………（需调整的腿数）

6÷2=3（只）………（因为表格中兔的只数是0，因此这里需调整的数量就是兔的只数）

10-3=7（只）…………（鸡的只数）

4.独立练习：鸡兔同笼,有20个头,54条腿,鸡、兔各有多少只？（可以列表，并把思路用算式表示出来）

【思考】将直观的列表法与抽象的假设法融合，最终将自己的思路用算式表示出来，学生在观察、归纳和交流中，不断地思考、多次地感悟、逐渐地明朗，直到最后主动应用。学生根据列表中发现的规律轻松获得计算的方法。列表尝试不再是“笨”方法，而是帮助学生理解假设法的“拐杖”，利用列表在形象思维过渡到抽象思维的过程中搭建一座桥，成为发展学生思维能力的载体，做到心中有表，表中有式，一定不会出现假设谁算出来不知道是谁的尴尬情况了。通过借表悟式，以式解表，达成表式合一，这正是数学学习所倡导的数形结合。

［1］郞建胜.关注本质，为理解而教［J］.小学数学教师，2015（11）.

［2］郑毓信.数学方法论［M］.南宁：广西教育出版社，2003.

陈志华）