变上限函数求导公式的应用

曹卫锋+梅霞

摘要：变上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，它独特的求导公式广泛应用于解决求导（或多元函数求偏导）、求极限、讨论函数性状、计算累次积分以及作为辅助函数进行定积分的证明等一系列微积分问题。

关键词：变上限函数；求导公式；积分；应用

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）51-0168-03

一、概念及性质

定义：若函数f（t）在区间[a，b]上可积，则？坌x∈[a，b]有唯一确定的值∫■■（t）dt与之对应，因此在区间[a，b]上可定义一个函数，称为变上限函数。记作

Φ（x）=■f（t）dt，x∈[a，b] （1）

定理：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则（1）式定义的变上限函数Φ（x）在[a，b]上可导，且

Φ′（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b] （1■）

即连续函数的变上限函数对上限求导等于被积函数。

利用复合函数的求导法则，可以得出变上限函数为复合函数的求导公式：

设f（x）在区间[a，b]上连续，φ（x）在[a，b]上可导，则

■■f（t）dt=f[φ（x）]φ′（x） （2■）

设f（x）在区间[a，b]上連续，φ（x）、ψ（x）在[a，b]上可导，则

■f（t）dt=f[φ（x）]φ′（x）-f[ψ（x）]ψ′（x） （3■）

证明（1※）：记Φ（x）=■f（t）dt，x∈[a，b]

则Φ′（x）=■■

=■■=■■

=■■·h·f（ξ■） ξ■∈[x，x+h]（积分中值定理）

=f（x）。

证明（2※）：■f（t）dt=Φ[φ（x）]

则■■f（t）dt=Φ[φ（x）]′

=Φ′[φ（x）]·φ′（x）

由（1※）得 =f[φ（x）]·φ′（x） 。

证明（3※）：■f（t）dt=■f（t）dt-■f（t）dt

=Φ[φ（x）]-Φ[ψ（x）]，

则 ■■f（t）dt=Φ[φ（x）]′-Φ[ψ（x）]′

=Φ′[φ（x）]·φ′（x）-Φ′[ψ（x）]·ψ′（x）

=f[φ（x）]·φ′（x）-f[ψ（x）]·ψ′（x）。

在教学过程中不难发现，许多微积分问题用变上限函数的求导公式（1※）、（2※）、（3※）解决既方便又简单。

二、应用举例

（一）应用之一：求导或极限问题

例1 求极限I=■■。

[分析]极限式分子是定积分■tsintdt，当x→0时趋于零，分母x■也趋于零，因此这是■型极限问题，可直接运用罗必达法则计算。

解：由公式（1※），得■■tsintdt=xsinx

故I=■■=■■=■。

注：若先计算定积分■tsintdt再求极限会很麻烦。

例2 设f′（x）连续，f（0）=0，f′（0）≠0，求■■。

[分析]所求极限是■型未定式，使用罗必达法则，并结合使用变上限函数的求导公式（1※）、（2※）。

解：■■=■■

=■■■■■

注意到此时极限虽是■型，但因f″（x）未必存在，不能再用罗必达法则。利用导数定义，分子分母同除以x，于是上式=■■=■=1。

（二）应用之二：讨论函数性状问题（单调性、最值、周期等等）

例3 设f（x）在0，+∞内连续且f（x）>0，证明函数F（x）=■在0，+∞内为单调增加函数。

证明：由公式（1※），得

■■tf（t）dt=xf（x），■■f（t）dt=f（x）

故 F′（x）=■

=■

按假设，在[0，x]（x>0）上f（t）>0，（x-t）f（t）≥0且（x-t）f（t）≠0，根据定积分的性质可知

■f（t）dt>0，■（x-t）f（t）dt>0，

所以F′（x）>0（x>0），从而F（x）在（0，+∞）内为单调增加函数。

例4 求函数f（x）=■e■sintdt x∈[0，2π]的最值。

解：由公式（1※）得f′（x）=e■，f′（x）=0时，x=π为f（x）在[0，2π]内的唯一稳定点。

f ″（π）=e■（sinx+cosx）x=π=-e■<0，所以f（x）在x=π处取极大值。

f（π）=■e■sintdt=■sintde■=e■sintπ0-■e■costdt=-■costde■=-e■costπ0-■e■sintdt=1+e■-f（π）

所以 f（π）=■（1+e■）

又 f（0）=0，同理易算f（2π）=■（1-e■）

因此 f（x）在[0，2π]上的最大值为f（π）=■（1+e■），最小值为f（2π）=■（1-e■）。

（三）应用之三：求多元函数偏导问题

在进行多元函数求导的过程中，也会遇到含有变上限函数的求导问题，要解决这一问题，常用的方法是利用一元函数变上限的求导公式，在求导的过程中，其关键就在于要弄清函数关系。

例5 设F（x，y）=y■e■dt，求1）F■；2）F■；3）F■。

[分析]根据求导自变量的变化，变上限函数■e■dt既可看成x的函数，又可看成y的函数，使用变上限函数求导公式即可。

解：1）F■=■[y■e■dt]=■e■dt-ye■

2）F■=■[■e■dt-ye■]=e■

3）F■=■[■e■dt-ye■]=-e■-[e■-2y■e■]=2e■（y■-1）。

例6 設u=■[φ（x+at）+φ（x-at）]+■■ψ（ξ）dξ，其中φ与ψ分别具有连续的一二阶偏导，试求：■-a■■。

解：■=■[φ′（x+at）-φ′（x-at）]+■[ψ（x+at）+ψ（x-at）]

■=■[φ′（x+at）+φ′（x-at）]+■[ψ（x+at）-ψ（x-at）]

■=■[φ″（x+at）+φ″（x-at）]+■[ψ′（x+at）-ψ′（x-at）]

■=■[φ″（x+at）+φ″（x-at）]+■[ψ′（x+at）-ψ′（x-at）]

因此：■-a■■=0。

（四）应用之四：计算累次积分问题

计算累次积分时，会遇到“先积的那个积分的被积函数的原函数不能用初等函数表达”这种情况。往往要通过交换积分次序，方能计算出结果。若通过引入变上限函数，再利用分部积分法，可以简化一些特殊的累次积分计算。

例7 计算■dx■■dy。

[分析]因为被积函数■的原函数不能用初等函数表示，故

设函数g（x）=■■dy=-■■dy，则它是积分上限x的函数。

解：因为 f（y）=■ y≠01 y=0在[0，■]上连续，则g（x）在[0，■]上可导，由公式（1■），得g′（x）=-■ x≠01 x=0，g（■）=0。

利用分部积分法，得

原式=■g（x）dx=xg（x）■■-■xg′（x）dx

=■g（■）-0+■x■dx

=■sinxdx=1-cos■=1。

（五）应用之五：与定积分有关的证明问题

证明与定积分有关的等式或不等式问题往往需要较多的技巧。一般先利用变上限积分构造函数，再利用导数确定该辅助函数的单调性的方法加以证明。这种证明方法思路清晰，辅助函数的构造方法规律明显，能较易掌握并熟练应用。

例8 设f（x）在[a，b]上连续，证明：■dx■■■f（y）dy=■f（y）（b-y）dy。

[分析]通过构造变上限函数g（x）=■f（y）dy，再化累次积分为定积分运算。

证明：设g（x）=■f（y）dy，则g（a）=0；由公式（1※），得 g′（x）=f（x）。

利用分部积分公式，得：

■dx■■■f（y）dy=■g（x）dx=xg（x）ba-■xg′（x）dx

=bg（b）-ag（a）-■xf（x）dx

=b■f（y）dy-■yf（y）dy（定积分与积分变量无关）

=■（b-y）f（y）dy

注：本题也可以利用二重积分交换积分次序来证明。

例9 设f（x）在[a，b]上连续且单调增加，证明：■xf（x）dx>■■f（x）dx。

证明：令F（t）=■xf（x）dx-■■f（x）dx（a≤t≤b）

则 F′（t）=tf（t）-■■f（x）dx-■f（t）=■f（t）-■■f（x）dx=■[f（t）-f（ξ）]（a<ξ

因为f（x）在[a，b]上单调增加，所以当a<ξ0，从而在（a，b）内，F′（t）>0。又F（t）在[a，b]上连续，故F（t）在[a，b]上单调增加。于是F（b）>F（a）=0，

即■xf（x）dx>■■f（x）dx。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室.高等数学（上册） 第四版[M].北京：高等教育出版社，2002：293-294.

[2]刘玉链，付沛仁.数学分析讲义 第三版[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]范克新，胡建平.高等数学自学考试指南[M].南京：东南大学出版社，1994.

Abstract：The variable upper limit function is a kind of function with special forms in calculus，whose unique derivation formula is widely applied to a series of questions in calculus，such as finding derivatives and limit，discussing characters of a function，calculating the iterated integral，carrying out the proof of the definite integral as an assistant function，and so on.

Key words：variable upper limit function；derivation formula；calculus；application