不等式证明方法探讨

张雪梅��

摘要：不等式在高等数学中有着极其广泛的应用，本文利用函数的单调性、微分中值定理、泰勒公式法对不等式的证明方法进行讨论，以期对本部分内容的证明提供一定的参考。

关键词：不等式；函数的单调性；中值定理

历来，不等式的證明问题在初等数学及高等数学知识点中都占据着一个非常重要的地位。不等式的证明方法有很多，如：分析法、归纳法、中值公式法、单调性法等等。下面我们介绍高等数学的知识从函数的单调性、微分中值定理、泰勒公式证明方法进行研究，并以例题加以巩固。

一、 利用函数单调性证明不等式

借助函数的单调性来证明不等式是一种很常用而且也非常有效的方法。

定理1：若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且在（a，b）内单调增加（减少）x∈（a，b），有f′（x）≥0（f′（x）≤0）。

定理2（严格单调的充分条件）：若函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且x∈（a，b），有f′（x）>0（f′（x）<0），则函数f（x）在（a，b）上严格单调增加（减少）。

例1证明：当x>4时，2x>x2。

证明：令f（x）=xln2-2lnx，则当x>4时，

f′（x）=ln2-2x>0

故由定理2知，f（x）在[4+

SymboleB@ ）上严格单调增加，所以当x>4时，f（x）>f（4）=0，从而有xln2>2lnx，进而即得

2x>x2。

注：这道题先对原不等式进行了恒等变形，而不是直接设函数，其目的在于这样可以降低了证明过程中导数符号判定的难度。

例2证：当02x。

证明：令f（x）=sinx+tanx-2x，则

f′（x）=cosx+sec2x-2，f″（x）=-sinx+2sec2x·tanx=sinx（2cos3x-1），

当00，因而由定理2知，f′（x）在[0，π2）上单调增加。故而当0f′（0）=0，从而由定理2知，f（x）在[0π2]上单调增加。所以当0f（0）=0，进而即得

sinx+tanx>2x。

注：本例题运用了两次函数的单调性，因为一阶导数的符号难以直观判断，从而借用其二阶导数的符号得出f′（x）在[0，π2）上的单调性，进而就比较容易判断f′（x）的符号，得出结论。

例3设可导函数f（x），g（x）满足：|f′（x）|

分析：要证“f（x）-f（a）≤g（x）-g（a）”，只需证

f（x）-g（x）≤f（a）-g（a），（x≥a）

问题是否可以转化为说明函数f（x）-g（x）的单调性呢，若是[f（x）-g（x）]′≤0，结论就自然成立了。

证明：令F（x）=f（x）-g（x），由条件|f′（x）|

F′（x）=f′（x）-g′（x）≤0，

所以由定理1知，F（x）在[a，+

SymboleB@ ）上单调减少，故而当x≥a时，有f（x）-g（x）≤f（a）-g（a），

即得f（x）-f（a）≤g（x）-g（a）。

二、 利用微分中值定理证明不等式

定理3（拉格朗日中值定理）：若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立。

例4证明：b-ab≤lnba≤b-aa，（0

证明：当0

当0

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

即lnb-lna=1ξ（b-a）

又因a<ξ

例5证明：当x>0时，ln（1+1x）>11+x。

证明：令f（t）=lnt，则f（t）在闭区间[x，1+x]上连续，在开区间（x，1+x）内可导，由定理3可知，存在ξ∈（1，1+x），使得f（1+x）-f（x）=f′（ξ）（1+x-x）

即ln（1+1ξ）=1ξ

又因x<ξ<1+x，故1ξ>11+x，从而得

ln（1+1x）>11+x，证毕。

三、 利用泰勒中值公式证明不等式

定理4（泰勒中值定理）若函数f（x）在含有x0的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一x∈（a，b），有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x）

其中

Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1

这里ξ是x0与x之间的某个值。

注：在泰勒公式中，如果取x0=0，则ξ在0与x之间。因此可以令ξ=θx（0<θ<1），从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的泰勒公式

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1（0<θ<1）。

例6设0

分析：这道不等式的证明稍微有些难，貌似可以用拉格朗日中值公式证明，可函数本身的构造有些困难，因为很难把三角函数和幂函数联系在一起。不过微分中值公式有个好处，那就是中值ξ总是介于两个端点之间的这个特点，所以对某些不等式的证明大家才会选择微分中值公式。虽然这道题目不太好直接用拉格朗日中值公式证明，可拉格朗日中值公式的一个推广形式，也就是泰勒中值公式，倒是可以试一试。

证明：由定理4注知，cosx的带拉格朗日余项的泰勒公式

cosx=1-12x2+14！x4cos（θx），0<θ<1

故有1-cosx=x212-124x2cos（θx），0<θ<1

因012-124x2cos（θx）>12-124π22=12-π296>13>1π

所以x2π<1-cosx

注：这道不等式证明是不是也可以借助函数的单调性来证明呢？分别令f（x）=x22-（1-cosx），g（x）=1-cosx-x2π，对f（x）和g（x）的单调性分别考虑。是否可行，读者可以去试一试哦。

其实，对于不等式的证明方法不止这些，同一道不等式的证明亦可以有好几种方法，方法有简单有繁琐，要根据题目本身的特点灵活选取，才能达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2015.

[2]蒋兴国，吴延东主编.高等数学[M].机械工业出版社，2011.

[3]徐建中.不等式的证明方法研究[J].重庆科技学院学报（自然科学版），2014：16（6）：152-154，159.

[4]景慧丽，杨宝珍，刘华，等，一个不等式的证明方法探讨[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2014：31（8）：24-26.

[5]潘娟娟，凌雪岷.高等数学中不等式证明的几类常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017，33（2下）：1-3.