数学核心素养：从内隐走向外显——《直线和平面平行的判定》的教学思考

徐解清

(江苏省苏州市相城区教师发展中心 215131)

1 引言

在近期举办的“基于核心素养的高中数学教学研究与实践”研讨活动中(苏州市教育科学研究院)，开设《直线和平面平行的判定》研讨课，探索如何解决“课堂教学应该如何培养学生的数学核心素养”这个问题，尝试实现直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养之内隐与外显的相互转变，使得培养学生的数学核心素养的教学目标得以落实，给与会教师以很大启发.本文将结合这节课的教学设计和课堂教学活动，对解决“课堂教学如何通过师生活动实现数学核心素养经历内隐与外显的相互转变，从而培养学生的数学核心素养？”这个问题，谈谈自己的思考.

2 教学分析

2.1 教材分析

“直线与平面平行的判定”是学生学习空间线面位置关系的判定与性质的第一节课，也是学生正式学习运用欧几里德公理化体系进行几何演泽推理的起始课，还是学生从直观想象进入逻辑推理，由感性到理性的转折课，对学生掌握建立线线、线面、面面的平行与垂直的知识体系的方法，对形成学生的空间观念和培养学生的空间想象能力及逻辑推理论证能力，具有示范引领作用.

2.2 教学目标

学生会画出直线与平面平行的直观图，会运用文字语言流畅地表述直线与平面平行的判定定理，会运用数学符号语言准确书写直线与平面平行的判定定理，理解线线平行与线面平行之间转化的条件和本质；培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力，引导学生学会运用直观感知—思辨论证——操作确认的认知方法，学习探究立体几何；让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感.

2.3 教学重点与难点

重点是直线与平面平行的判定定理的理解、表示及应用；难点是学生的空间感与空间观念的形成和学生书写表达与逻辑思维能力的培养.

3 教学过程

3.1 创设情境

师：今天我们一起探索直线和平面平行的判定，首先解决下面两个问题：

问1：空间中两条直线有几种位置关系？

问2：判断两直线平行常用哪些方法？

生1：相交、平行、异面；

生2：内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行.

生3：补充一下，梯形的上下底是平行的，三角形中的中位线是平行的，平行四边形的对边是平行的.

点评：问1理清空间两直线关系，为线面关系向线线关系转化埋下伏笔；问2基于学生的学习经验，为线面平行判断打下基础；以问做引，学会迁移.

3.2 学生活动

活动1：研究直线与平面的关系

S1：用一张纸和一支笔尝试研究直线与平面有几种位置关系？

S2：将摆出的每种位置关系分别用“文字语言”，“图形语言”，“符号语言”表示出来.

师：请拿起你的笔和纸，笔当线，纸作面，来探索直线和平面的几种位置关系．小伙伴们，现在可以愉快地玩起来了.

结论：直线与平面位置关系：

学生文字语言图形语言符号语言生4直线在平面内(有无数个公共点)a⊂α生5直线与平面相交(有且只有一个公共点)a∩α=P生6直线与平面平行(没有公共点)a∥α

点评：数学核心素养关于数学抽象是这样描述的：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．本小节活动较好地体现了学生自主探究，抽象出线面关系，有效地培养了学生进行数学抽象这一核心素养.

另外，教师语言亲和，开放包容，有利于建立和谐的师生关系．学习内容生成自然，学生活动本真．学生借助实物演示，用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界.

活动2：观察教室前门，将门框所在墙面看成平面α，靠近门把手的门的一边看成直线l .

(1)思考：将门打开到不同的位置时，直线l与平面α是什么关系？

(2)讨论：不同位置的直线l有怎样的共同性质，导致了都与平面α平行？

(3)在实物和模型中，找出类似的直线与平面的案例.

师：我们来观察教室前门(用手把教室前门打开)，将门框所在墙面看成平面α，靠近门把手的门的一边看成直线l , 将门打开到不同的位置时，直线l与平面α是什么关系？

众生：平行！

师：请小组讨论：不同位置的直线l有怎样的共同性质，导致了都与平面α平行.

生7：直线总和平面内一条直线平行；

师：请大家拿起手中的小玩具，在实物和模型中，找出类似的直线与平面的案例.

众生：……

点评：数学核心素养关于直观想象是这样描述的：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．本小节活动，较好地培养学生直观想象这一核心素养，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维.

另外，课后与上课教师交流得知，小玩具是她自己买给自己女儿玩的，感觉对立体几何课有用，就拿到课堂上来了．可见用心良苦．玩具如右图所示.

活动3：(归纳)当直线满足什么条件时，能判定这条直线与给定平面平行？

师：请小组讨论一下：当直线满足什么条件时，能判定这条直线与给定平面平行？

生8：直线与平面内一条直线平行.

师：能用符号语言来描述吗？

师：外面有点吵，我没听清她的回答，让我先关上门(把原本打开的前门关上).

师：很好，她及时改正了问题.

下面我们对刚才的活动探索下个结论——直线和平面平行的判定定理：

文字语言图形语言符号语言如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.a⊄αb⊂αa∥b}⇒a∥α

点评：数学核心素养关于逻辑推理是这样描述的：从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本小节数学活动，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强了数学交流能力，在数学活动中提升了思维品质.

教师在发现学生论述有漏洞时，并未直接指出，而是通过关门的一个小动作设计，让学生顿悟到线在面外的必要性，体现了授课教师良好的课堂驾驭能力.

3.3 知识小结

(1)证明直线与平面平行的方法：

师：直线与平面没有公共点时，如何证明直线与平面平行？

生9：利用定义(直线与平面没有公共点).

生10：利用判定定理(线线平行到线面平行)．

(2)数学思想方法：转化的思想

点评：总结归纳，从感性层面上升到理性层面．从会解一道题到会解一类题．把本节课的内容再次升华.

4 教学思考

通过这一节课的教学与观摩之后，我们就“怎样理解数学核心素养”“怎样发展数学核心素养”两个问题进行了热烈的讨论，一致认为：数学核心素养不能停留在内隐层面，不能只是空洞的理念，而应当积极走向外显，要用显性的行为实践隐性的意图，核心素养应该是课堂中学生的数学活动的展现．这种转变要求我们实现显性的数学活动与隐性的数学素养之间的相互转变，把核心的理念变成数学问题与数学活动，让学生亲身经历数学核心素养的发展过程，而不是停留在“标签”层面.

4.1 如何正确认识高中数学核心素养

数学核心素养就是数学教育过程中，学生逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备的数学思维品质和数学能力，是数学知识、能力和态度的综合表现．数学核心素养是数学课程落实“立德树人”这一教育根本性任务的具体体现，是从发展性角度对数学课程的目标定位，为当前高中数学教育新一轮改革指明了方向，理应成为当前数学课堂教学的价值取向和实践的内驱力.

普通高中数学课程标准(修改稿)(以下简称修订稿)即将颁布，届时，高中数学课程对于学生的数学核心素养的发展将变得有据可依．但是，需要指出的是：修订稿中对于数学核心素养的内涵和水平划分只是反映对学生的总体期望，从课程标准到课时目标需要经历多重转换．而且，修订稿中提出的高中数学六个核心素养是高中数学课程的总体目标，每个数学核心素养都有其丰富的内涵，它们外显于学生高中数学学习的教学活动中，又通过学生的数学学习活动内化为学生的数学素养，如此往复周而复始，实现数学核心素养之内隐与外显的相互转变．因此，必须对课程标准中的目标从整体的高度进行审视，结合具体的教学内容，对课程标准进行解读，确立每堂课的数学核心素养的发展目标．通过课堂教学中师生数学活动序列(显性)内化为学生的数学核心素养(隐性)，从而实现数学课程的总体期望，实现数学课程价值.本课例就是将课程目标结合教学内容，通过将整节课分解成3个片段若干个显性的数学活动环节：通过操作实验这一数学抽象行为来归纳直线与平面的位置关系，并用3种语言表征出来，帮助学生主动建构直线与平面的位置关系这一数学概念，同时，隐性的发展学生的数学抽象素养，并实现课程目标与课程价值.

4.2 如何发展学生的数学核心素养

数学核心素养的发展受一些因素的影响．譬如，学生的认知特点，高中生的认知正处于由经验型逐步向理论型转变的过程中；又如，高中学生的生理、心理发育特点，学生的身体逐步发育成熟，但心理急速发育成长，正是人生观、价值观逐步形成的阶段；再如，数学的学科特点，高中数学具有较强的系统性和抽象性，对学生的终身发展起着独特的作用，承载着数学育人独特使命.

因此，普通高中数学课程标准修改组从适应学生的终身发展及社会的未来发展的需要出发，将我国高中数学课程目标从最初的学科视野下的致力于数学知识，技能，思想的提高，到人本观发展视角下的发展数学核心素养——数学知识、能力为基础的将情感、态度、价值观以及数学意识融入其中的综合表现.

鉴于影响数学核心素养的发展的诸因素以及核心素养包含的诸方面，发展数学核心素养不能一蹴而就．我们认为，只有将显性的数学活动与隐性的数学素养之间进行相互转变，才能更好地发展学生的数学核心素养.

其一：实践出真知．每个个体都会从已有的实践活动和经验中寻找启示，数学核心素养的发展也不例外，只有学生参与了整个学习过程，经历了自主性活动和对数学知识的自主建构，才有利于数学核心素养的发展.

其二：活动化素养．正如只有在水中才能学会游泳一样，唯有在数学活动中积累经验，发展数学核心素养．学生只有在经历无数次数学活动(显性)后才能内化为自身的数学素养(隐性).

修订稿明确在高中数学课程目标中增加了基本活动经验与原有的数学基础知识、基本技能、基本思想一道构成了课程目标中的“四基”．华东师范大学课程与教学研究所崔允漷教授说“新课标与现有的课标最大的不同，就是强调每门学科的核心素养”，而培养学生的数学核心素养，一方面，需要我们转变教学方法；另一方面，需要我们改变教学观念．以往强调老师怎么教，现在则要强调老师怎么引领学生自主探究学习．课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所．课堂即生活，师生教学活动是课堂的心脏，它的跳动使得各种要素(学生、教师、媒介、听课者、教室环境等)融入其中，和谐统一，各自生成．本节课，通过问题情境为平台，以问题为中心，引导学生积极开展数学活动，借助数学实验(门的转动过程中的特点)，通过数学抽象，得出直线与平面平行的概念与核心要素，提炼出线面平行的判定定理．在显性的数学活动中发展了学生隐性的数学抽象素养与直观想象素养.

如何培养学生的核心素养，这是一个新课题，只要我们从学生的终身发展出发，让学生真正成为学习的主体和主人，在数学课堂教学中，精心组织数学实践活动，让学生在探究活动中，学会自主学习、团队学习并培养其在团队学习中分享经验的机会．最终实现从学校课堂走向无限的人生，从不可见的数学素养到可见的数学修为．