因“材”施探 方显探究本色*

钱 宁

(江苏省新海高级中学 222006)

1 提出问题

新课标实施至今，“探究式教学”已广泛被教师们接受，探究“理念”也已深入人心，它不但能激发学生学习数学的动力、合作力，更能培养学生的识别力、转化力和创新力等学习力.因此，凡是公开课一定会采用探究式教学.但是，“言必称探究”并不是新课程的代名词，不是所有内容都适合探究.在具体的教学实践中，什么样的教学内容适合探究？这些探究内容又是从哪里来的？有了探究内容又适合谁去探究？等等这些实际问题让工作在一线的教师甚是疑惑.笔者根据自己的教学实践，针对如何选用探究材料方面谈几点看法.

2 遵循两项基本原则

2.1 适用性原则

教学中，不是所有内容都适合探究法去组织教学的，不能为了探究而探究，“比如，数学中某些原始性的概念定义，没有多少‘开放性’，不必探究，这样的内容，重要的是让学生了解来龙去脉，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教师讲授或让学生看书的方式即可.”[1]再如，线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的定义，立体几何中的四大公理等，这些公理化思想的教学，教师应该采用“接受式教学”，可以通过生活中的事例，让学生感受到定义与生活实际或自己的经验相吻合，从而确认其合理性即可.怎样的内容才适合探究呢？从内容上讲可以是概念探究，性质、定理探究，也可以是解题方面的探究，但都必须是有价值的，能够引起学生火热思考的，且能使学生在探究之后，在思维上有所启发，在思想上有所启迪，并能获得成就感的那些数学材料.这样的探究才有价值，才有意义.要求我们在选材的时候，还要“备学生”，即关注教学对象.

2.2 最近发展区原则

不同阶段的学生具有不同的认知结构，同一阶段不同层次的学生也存在着个体差异.只有在学生“最近发展区”内开展、实施的课堂教学才有可能是有效的教学.所以，我们选用的材料必须是位于学生思维最近发展区内、蕴涵当前学习内容本质的素材.若是高估了学生的能力或智力水平，无异于把学生当作“天才”来教，整堂以学生为主体的探究课无疑会变成一场由教师自编、自导、自演的“独角戏”，探究只能“无果而终”.同样，若是低估了学生的能力和智力水平，探究一些对他们来说过于简单的材料只会走向另一个极端.

所以，教学对象不同，选材的方向也应不同，同时，同一材料也可以通过布设不同的探究点来适应不同层次的学生.对于相对较差的生源，我们可以多设置几个“台阶”，让其循序渐进地进行探究；对个体差异较大的群体，我们可以先设置较低的“起点”，让绝大部分同学都能参与，然后随着探究的深入，增加一些较难的“探究点”以满足程度较高的学生的探究欲望.

3 选择三个不同视角

笔者在遵循这两项基本原则的基础上，从三个不同角度选取了三个案例，以说明在材料选用时可关注的三个视角.

3.1 教学内容的“联系性”

著名教育心理学家奥苏伯尔认为：“学习过程是在原有认知结构基础上，形成新的认知结构的过程；原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素；一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，新的概念、命题等总是在与学生原来的有关知识相互联系、相互作用的条件下转化为主体的知识结构.”高中的数学学习离不开初中数学的主要内容，比如，初中学习的二次函数，不仅是初中的重要内容，也是高中重要的基础知识点，学生非常熟悉，各种数学思想，很多都以二次函数为载体的.高中的很多知识都可以从学生熟悉的二次函数入手让学生感知、类比、探究.如高一学习的函数的单调性的概念课，就可以从二次函数的图像开始逐步探究出单调性的概念.

案例1函数的单调性

教学对象：高一新生

函数的单调性是高一新生陌生的概念，如何通过探究获得这一概念呢？教学开始，教师可以举一些生活中的实例，比如，气温随着时间的变化而变化，城市人口随着年份的变化而变化等等，让学生直观感受函数值随着自变量的变化而变化的实际情况，既培养兴趣又感受数学来源于生活.随即，老师可抛出学生熟悉的二次函数如：y=x2-2x-3,让学生画图像，并根据图像回答：

问题1：自变量x在什么范围内取值时，函数值y随着x的增大而增大?

意图：从熟悉的二次函数图像去感知这种变化，让学生感知函数在某个区间内的单调情况，但又感觉描述不清.

意图：从特殊到一般，引导学生用数学语言归纳总结，培养思维的严谨性，为探究单调增函数严密的数学概念打下基础.

问题3：如何用数学符号语言给出较为科学的单调增函数的概念呢？

问题4：同学给出的定义有没有漏洞？你该如何进一步完善？

问题5：单调递减函数如何定义？

对于我教的强化班学生来说，这是一个较为简单的探究活动，步步为营，逐步严谨，从熟悉的函数中发现并探究单调性概念.由于知识的前后联系紧密，老师设置相关的问题串让学生主动探究，这种“探究发现”，不仅可以加深对概念、定理的印象，让学生亲自体验发现过程，还可以让学生感受其严谨性和深刻内涵以及背后激动人心的灵感和睿智的思想，体会数学家的严谨态度和孜孜不倦、锲而不舍的探索精神.当然，高一课本中还有大量适合探究的性质、定理等都可以拿来作为探究的素材.

3.2 教学材料的“可挖掘性”

心理学研究表明，每个学生都有分析、解决问题的潜能和创造力，关键是要有好的素材，以促进学生在这方面的发展.当然，由于学生个体之间存在着一定的差异，他们的发展需求也是不同的.根据学生的数学学习心理规律，教材在内容的选编中除保证《标准》所提出的基本课程目标能顺利实施外，还要考虑要满足不同学生的数学学习需求，所以在教材很多章节的后面都设置了“思考”、“阅读”、“探究”等拓展性栏目,这是为了使全体学生在获得必要发展的前提下，力求不同的学生可以获得不同的体验，这既尊重了学生生活经验、认知特点等的差异，又为学生展示个性提供了较为广阔的空间.例如，在苏教版选修2-1教材第27页有三幅图片(图1).它说明，当截面与圆锥轴线夹角不同时，可以得到不同的曲线，它们分别是椭圆、双曲线、抛物线.由于这些曲线是由平面截圆锥而来，所以，称它们为圆锥曲线.而在《椭圆及其标准方程》这一节的后面有一栏“探究”：为什么截口曲线是椭圆？教师可以引导学生阅读书本材料，在了解了截口曲线为什么是椭圆后，我们可以继续探究.

案例2圆锥曲线的由来

教学对象：高二学生

问题1：如图2，用一个与圆柱母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，这条曲线是不是椭圆呢？你能不能证明你的结论呢？

问题2：如图3，若平面与圆柱底面所成角为θ，椭圆的离心率跟θ是否存在一定的数量关系呢？若存在，又是怎样的关系？

图2

图3

问题3：在理解了截口曲线是椭圆之后，继续探究为什么截口曲线是双曲线和抛物线(如图4)?

图4

在数学史上，刚开始数学家们都是用纯几何的方法研究圆锥曲线的[1].在17世纪笛卡儿发明了坐标系以后才开始用坐标的方法研究它们.由于笛卡儿发明了坐标系，产生了一门新的学科，这就是解析几何——用代数的方法来研究几何.我们可以让学生尝试去探究：为什么这些截口曲线是圆锥曲线？以下是探究“截口曲线为什么是抛物线？”的一个片段.

图5

像这类教材中的章头引言、阅读材料、探究发现等等都值得深入挖掘.这样的探究可以让学生体会到书本知识的内涵和外延，有助于扩大学生的知识面，激发学生的学习兴趣，使学生对某些概念的产生“知其然”，且“知其所以然”.并让学生认识到数学是自然的，数学概念的产生也是自然的、水到渠成的.体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，也让学生深刻体会到数学知识的博大精深和数学文化的源远流长，使学生在充满智慧的数学海洋中继续寻宝.

3.3 解题探究的“发散性”

著名数学家笛卡儿曾指出：“当我们已经直观地弄懂了几个简单的定理的时候，……如果能通过连续的、不间断的思考活动，把这几个定理贯穿起来，悟出它们之间的相互关系，并尽可能多地、明确地想象出其中的几个，那将是有益的.照这样我们的知识无疑地会增加，理解能力会有显著的提高.”在高三复习阶段更多的是“解题”，学习难免变得单调、枯燥而乏味，对此，我们不妨尝试改变一下“做了讲，讲了再做”的方式，选择一些结论可推广或拓展的问题类材料，适当开设一些探究课，引导学生深入观察、大胆猜想，应用归纳、类比、联想、引申等思维方式培养学生的发散性思维.

案例3在“变”中寻求“不变”

教学对象：高三复习阶段学生

图6

例：过抛物线y2=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A,B两点，在x轴上是否存在一个定点M，使直线MF平分∠AMB？若有，请求出M点坐标，若没有说明理由.(图6)

分析：假设存在这样的定点M(m,0)使直线MF平分∠AMB.

法一：代数法(联立方程、韦达定理求解)；法二：几何法(利用平面几何关系结合抛物线定义，用相似三角形求解).

笔者讲完此题后并没有结束，而是把它作了深挖掘，在课堂上进行了探究.下面把设计的探究问题和设计意图详述一下.

问题1：将题中的“y2=4x”改成“y2=2px(p>0)”，会有怎样的性质？

意图：观察直线l与点M的特征，得出一般性结论.让学生学会透过现象看本质，体验从特殊到一般的推理模式.

问题2：你能证明你的结论吗？

意图：让学生在“模仿”中感受到“数”与“形”的完美统一.

问题3：把抛物线改成椭圆会有怎样的类似性质？你能证明你的结论吗？

意图：培养学生“由此及彼”的类比推理能力和知识迁移能力，在“类比”中探究发现新的结论，体会形式上的统一.

图7

问题5：点N的特征具有一般性吗？

意图：让学生体会探究中的“意外收获”，感受“探究”的乐趣和“发现”的喜悦.

至此，学生很自然会把结论类比到更一般的椭圆和其他圆锥曲线，教师可点到为止.整个探究过程起点较低，数学水平一般的学生也都能积极参与，但探究至此，并不能满足那些程度较好的学生的探究欲望.鉴此，教师还可以让此类相关“焦点、准线”的探究继续，或者一直延伸到课外，甚至延续到以后的学习生涯中.下面便是笔者引导学生继续探究，让学生进一步在“变”中找出“不变”的量.

问题6：过抛物线x2=4y的焦点F任作直线l与抛物线交于A,B两点，以A,B为切点作该抛物线的两条切线，这两条切线的交点有何特点？这两条切线又是何位置关系？(如图8)

图8

问题7：过N(0,a)(其中a>0)任作直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点，以A,B为切点作该抛物线的两条切线，若这两条切线的交点在准线上，探究：N(0,a)是否为定点？

问题8(课后思考)：能否在以上探究结果的基础上，自己编一些题目呢？

此类问题的探究，属于圆锥曲线中定点、定值问题的探究，关键在于在“变”中寻求“不变”，是适合探究的又一类题材.后面的三个问题是第一次探究的延续，是根据不同层次的学生设计的较难的探究问题.通过这些问题的思考，教师可以让学有余力的学生继续探究，以发散学生的思维，启迪学生.当然，课后可鼓励学生把探究结果张贴在“学习园地”上，以供交流学习之用.实践表明，针对高三学生实施“探究式”的解题教学是有效的，而选择具有发散性思维的题目进行探究更有价值.

4 结语

新课标指出：“数学探究课的材料应该多样化，可以是某些数学结果的推广和深入，不同数学内容之间的联系和类比，也可以是发现和探索对自己来说是新的数学结果.可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立，也可以从教师提供的案例和背景材料中发现和建立.”但这些都必须遵循前面所讲的两个基本原则，否则就会产生“探而不究”或“伪探究”等现象.所以，根据不同“材料”特点来实施探究，才能体现出探究式教学的本质，才能真正提高探究力.当然，教师在关注材料本身特征的同时，也应关注不同阶段学生和不同层次学生的特点，进行有针对性的布设探究点；在鼓励学生自主探究的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力；若某些材料要求学生有较强的逻辑思维能力和演算能力，教师要敢于跟学生一起探究.目前，随着数学教育理论与实践的发展，“探究式教学”这一提升学生学习力的教学方式正倍受重视，也取得了长足的发展，在选材加工方面的视角也应当更开阔，如开放性的数学问题、数学建模等，都是选材的很好视角.另外，作为教师还要善于抓住在课堂教学进行的过程中“意外”生成的探究，比如学生在课堂中发现和提出的问题、由某一例题引发的探究等等.