让学生参与探索 体会数学思想提高数学课堂效益——从一节初三专题复习课看数学课堂教学

李亚玲 刘 璐

(1.北京师范大学基础教育质量监测协同创新中心 100875；2.石家庄市教科所 050000)

日前，笔者前往某市调研，随堂听了一节初三数学专题复习课——规律探索.课堂教学是数学教师促进学生理解，增加活动经验，提升数学素养的终端，是促进学生学习和发展的主要舞台，因此课堂教学设计是数学教育研究的重要课题.笔者下面就这堂课以及数学课堂教学谈谈自己的思考.

1 关于这节专题复习课——规律探索

1.1 教学背景

在初三复习教学中，一般都要经历三个阶段：系统复习—专题复习—综合复习，专题复习是学生在对基础知识进行系统复习的基础上，进行能力提升的重要阶段.可以通过此轮复习，提高学生对知识之间联系的再认识，把孤立的知识点进行横向纵向结合，在头脑中形成知识网络，使学习的知识逐步内化为分析解决问题的能力.不仅可以促进学生对数学知识的理解和掌握，更在于可以让学生通过有的放矢的教学活动，增加数学活动经验，提升数学素养.

规律探索的专题确立，符合《义务教育数学课程标准》(2011版)的要求，“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义”，“能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示”，“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用.”因而，在近几年的中考试题中，规律探索类题目已成为备受命题者青睐的一类试题，这类题目的特点往往是给出一组具有递推关系的数、代数式或图形，通过探究其变化过程中的规律，归纳或猜想出一般性的结论.加强这类题目的学习，不仅可以发展学生的数感、符号意识、几何直观等核心素养，还可以培养学生的运算能力、推理能力，以及运用类比归纳、数形结合思想、模型思想等方法解决问题的能力.

1.2 教学目的

本节课是规律探索专题的第一课时，教师的课堂教学以题目为载体，通过对所选题目的练习与辨析，力图使学生学会用代数式表示问题中的数量关系，并验证所探索的规律；经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，培养学生观察比较、推理归纳、猜想验证的能力.从实际教学来看，知识层面的教学目标能够较好地达成，学生通过对典型例题的练习体会解答规律，通过教师的点拨讲解感受知识的正向迁移，通过题目的举一反三，掌握一类题目的解题技巧，最后初步形成对规律探索类题目的解题策略.

1.3 教学过程

老师在上课开始给同学们介绍了什么是规律探索问题，解决这类问题的一般方法，以及主要思想.

规律探索问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析、类比、归纳，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生的归纳、概括、类比能力.

解决这类问题的一般方法是：从特殊情形入手——探索发现规律——猜想结论——验证.

主要思想：数形结合、从特殊到一般的思想.

本节课里，教师根据以往教学经验精心选择，确定了三类题目作为研究主体.类型一是数式规律探索；类型二是图形规律探索；类型三是坐标系中的图形规律探索.每个类型的探索下面分别设置了例题和练习，主要内容如下：

类型一：数式规律探索

例2(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：

32-4×12=5

①

52-4×22=9

②

72-4×32=13

③

…

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：92-4×( )2=( )；

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)

类型二：图形规律探索

例3(2015·贵州安顺)如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中的基础图形个数为________(用含n的式子表示).

例4(2015·河北)如图10，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；

……

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=________

(图10)

类型三：坐标系中的图形规律探索

例5(2014·湖北孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是________.

授课方式上，老师主要通过展示例题，请同学思考解答，随后老师反馈评价，并对学生在完成的过程中容易出错的环节进行总结和强调展开教学，整节课在完成例5的时候结束.

2 教学活动点评——适当教学内容的组织和教学策略是实现教学效率的重要因素

上好一节专题复习课的首要前提条件是选好习题，包括例题和练习.本节课的任课教师有一定的工作经验，对日常教学和中考复习具备一定的研究能力，教学语言表述清楚，思路条理清晰，属于成熟型教师.在本节课的教学设计中，教师根据以往教学经验精心选择，确定了三类题目作为研究主体.并为每一类型的题目配备了相对应的中考原题作为例题和习题.习题的选择是本节课的一个亮点，所选题目能够很好地体现每类题型的特点，不仅有代表性，还具有层次性，思维含量逐渐加大，既涉及了知识的广度，又有能力要求的深度，考查的技能和能力较为全面，从这一方面讲，教师在教学设计上做了充分的准备.这也是一节好课构成的重要因素.另一方面，教师单方面的精心准备不是上好一节课的全部因素，关键还要看教师如何通过对课堂教学的设计，激发学生的求知欲，调动学生的主动学习热情，把教师教的课堂变成学生学习的课堂和探索的实验室，让学生经历知识的获得过程，通过自身的思考和探索解决问题收获结论，真正体会到学习的内涵和价值，这才是我们教学的真正目标.

2.1 结论是否有必要在引入环节呈现

教学：在授课伊始，教师便给出了对规律探索问题的一般性描述，让学生对其有了初步的整体认知，并提出解决这类问题的常见思路和涉及到的数学思想.

点评：这样的引入直入主题，使学生对要研究的问题一目了然.但也有一定的弊端，在学生还没有接触到具体题目时就把解决问题的思想方法直接托出，并不能很好地起到引领作用，学生所看到的只是解题方法的文字表述，并不能完全领会和理解，有时反而会干扰和限制学生的思维，不妨让学生在完成对题目的解答后，自己进行总结归纳和概括，这样对学生形成正确的解题策略会更有帮助.

2.2 我们应该选择什么样的情境，才能启发学生思考

教学：在这节课中，老师选择了一道石家庄市2015年的中考试题作为例题，据课堂观察，发现学生对这道题的解答非常自如，没有任何困难，课后的访谈得知学生在此前已经针对这道原题进行过多次练习.

点评：启发式教学是我们认为成功的教学原则，而启发的关键在于创设一种问题情境.问题的难度则是形成问题情境的重要因素.如果只是令学生简单重复已经反复练习过的内容，学生不会有任何兴趣；当然，如果创设的问题对学生而言过于困难，让学生力不能及，也会有同样的结果.对此，认知心理学家如皮亚杰等人，曾以适应理论进行了解释：让感性输入和现有认知结构之间具有中等程度的不符合时，兴趣最大.

2.3 题目解答完成后，教师要做什么样的教学评价

教学：本节课的教学主干知识为三大类型的规律探索类题目，每一类型题目的处理流程基本上都是给出了一道典型例题，取自近两年的各地中考试题，学生独立完成后，通过师生问答的形式得出答案，并进行简要的思路分析，然后再呈现同类题目进行练习巩固.

点评：这样的设计无可厚非，也是我们常用的专题复习课的教法.但对复习课而言，教师选好题只是完成教学的第一步，更重要的是对学生解答的处理和提升.教师不能仅以学生得出正确答案作为完成教学的标准，要对学生进行追问，“你的解题思路是什么”“你是怎么想到的？”“还有其他解法吗？”等等，学生回答的同时，也是对自己思维过程的审视.教师也可以通过对学生思维过程的分析，了解他是否真正掌握了该问题，其他同学也可以从中得到启迪.教师在追问的同时，也要做好对题目解答的概括和提升，使学生可以通过对一道题的解答，学会对一类问题的处理方法，教师要把知识背后所隐含的数学思想方法教给学生.

例如，本节课中的例1的教学.

课堂上教师认为该题比较简单，在学生得出答案后没有任何评价.如果教师通过一人做对就认定人人都会，那么这道题就没有练习的必要.每道题都有它的教学价值，这是一道基础题，自然数列，奇数列的表示形式是后面较难题目的组成部分，复习课就是查漏补缺的，不能忽视基础.

2.4 专题复习课“量”与“质”哪个更重要

教学：本节课中，教师准备了大量的题目，三大类题型，共设有五道例题，四道练习题.实际教学中教学时间不够导致明显的前松后紧，类型三的教学尤显仓促，最后一题没有完成，反思小结已没有时间让学生回顾和思考，只能由教师代劳，直接呈现出规律探索的常见方法.

点评：这也是我们日常复习课的一个缩影，老师们在备课时往往考虑的是如何把题型找全，要尽可能多地让学生见到各类题型，这样自己才会放心.但是让学生见到就代表他们学会了吗？囫囵吞枣总是要消化不良的.如果教师能够理性分析教学内容和学生的实际情况，不贪多求全，对每类题目不求见的多而求做的对，让学生打下扎实的知识基础，真正掌握题目内涵，才能不惧题目的外在变化.具体到本节课，教师应给学生提供对每类题目的典型例题进行深入分析和理解的机会，不仅注意观察题目的外在呈现形式，还要引导学生学会分析题目的内涵特征，能从已知条件中获取有助于解答的隐含条件，明确解题思路.通过对题目的透彻分析，深刻理解题目的价值和意义，把所涉及的知识空缺进行弥补，进而可以对这一类题目都能有所掌握(详见后文对例5的分析)，相信教学效果一定会事半功倍.

以上我们对整节课的教学组织以及教学策略层面进行了一些点评，这些内容自然很重要，在很大程度上决定了一节课的教学效率.但是，在一节规律探索课里，较之更重要的是让学生亲自经历探索，领悟其中的数学思想方法.

下面我们从本节课所承载的数学内容和思想方法层面做进一步分析.

3 让学生经历探索，积累数学活动经验，提高归纳能力，把数学思想方法的教学落到实处

3.1 积累数学活动经验，切实提高学生的归纳能力的重要性

本节课的教学目的是：根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析、类比、归纳，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.授课教师上课开始就明确了这一点.可以看出，归纳能力的培养是本节课的教学重点.随着近年来对创新人才培养的重视，归纳能力的培养为众多学者所重视和提倡.

史宁中(2015)在《数学思想概论：数学中的归纳推理》中讲到，归纳在本质上是一种思想方法，这种方法表现在思维的过程之中，对于这种方法的把握不是靠人们的理解而是靠人们的感悟，是一种“意会”重于“言传”的东西.这种思想，很难在过分注重传授知识和技能的教学中得到实施，唯有让学生亲自经历观察、分析、类比和概括的全过程，积累数学活动经验，才能切实提高学生的归纳能力.

因此，如何在课堂中落实这些环节，让学生真正领悟数学思想方法，从而掌握思考问题，解决问题，进行探究的一般过程，才是本节课的重中之重.

在这节课里，老师多数采用了代劳的方式代替了学生的探索，并且在题目讲解的最后也没有时间让学生反思整个归纳过程，形成探索一般性结论的思想方法，成为本节课的遗憾.

下面，我们选取一个例题，分析一下如何让学生在课堂中经历探索，形成归纳能力.

3.2 例谈数学归纳过程的教学

我们以本节课的例5为例，对这道题得到结论的归纳过程进行逐步解构：

1)观察

观察是指发现事物的自身特征，观察各事物之间的关系，以便获得事物的规律性.

具体到此题，从已知条件中，可以看到的显性条件是：

(1)点A1，A2，A3，…，An在直线y=x+1上；

(2)点C1，C2，C3，…，Cn在x轴上；

(3)四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…是正方形；

题干中还有一句话非常重要：“按如图的方式放置”，在此我们要认真读图，采用数形结合的方法，可以得出下列的隐含条件：

(4)点A1，A2，A3，…的坐标可以写成(x，x+1)形式；

(5)点C1，C2，C3，…的坐标可以写成(x′，0)形式；

(6)OA1=B1C1，A1B1=OC1，C1A2=B2C2,A2B2=C1C2，…

2)分析、比较

分析就是把研究对象的整体分解为各个组成部分、因素、方面、层次，并对它们进行研究和考察，从而整体地关联地把握事物.比较是在分析基础上针对一个事物的各个组成部分、各要素进行比对，也可以针对各个事物之间在组成部分、各要素加以比照，找出它们的共同性、相似性以及差异性.

在以上观察的基础上，展开分析和比较.我们结合图形把题目中的已知条件及其推导条件都已写出来了，再看题目的所求，是点B6的坐标，点B既不在直线y=x+1上，也不在x轴上，那么它与已知条件中的点A1，A2，A3…点C1，C2，C3，…有什么关系呢？

综合条件(4)(5)(6)，又可得出

(7)A1(0，1)，B1(1，1)，C1(1，0)

A2(1，2)，B2(3，2)，C2(3，0)

A3(3，4)，B3(7，4)，C3(7，0)

观察上面的式子及图像，从直观上可以发现点B1的横坐标与点A1的横、纵坐标之和相等，B1的横坐标与C1的横坐标相同；点B1的纵坐标与点A1的纵坐标相同.同理，可以推导出点B2、B3与对应点A2、A3具备同样的规律.

考虑到我们的目标是求B6的坐标，因此我们从B1，B2，B3的横纵坐标之间的关系继续分析：

xB2=xB1+yA2yB2=yA2

=xB1+(xB1+1) =xA2+1

=2xB1+1 =xB1+1

由此，我们找到了点B2和点B1的坐标之间的关系.

3)抽象、概括

抽象就是在思想中撇开事物的次要标志、非本质属性，而引出其固有的本质属性和特点，形成科学的概念和范畴，认识客观事物的规律.概括是在思想中把从某些具有若干相同属性的事物中抽象出来的本质属性，扩大到具有这些相同属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念.

实际上，以上的观察和分析，我们知道不仅点B2和点B1之间有这样的递推关系，B3和点B2之间，B4和点B3之间都有这样的关系式，一般地，可以概括得到关于Bn和Bn-1的坐标之间的关系：

xBn=2xBn-1+1,yBn=yBn-1+1

如果仅就解决这道题而言，利用以上概括得到的关系式，结合初始点的坐标，即可得到结果B6(63，32).

如果进一步抽象，根据以上递归关系式，我们可以得到Bn的坐标可以写成Bn(2n-1，2n-1).

至此，我们就完成了整个归纳的过程，当然对于归纳得到的结论，还需要进行论证，考虑到这不是这节课的重点，我们在此处也略去.

在教学中，题目呈现在学生面前时，教师可以引导学生首先通读全题，结合图形再细读题目，然后思考以下问题：

(1)你从题目的文字叙述中可以看到的已知条件有哪些？

(2)图形中反映了哪些已知条件？

(3)结合图形和文字，你还可以推导出哪些隐含条件？

(4)题目的问题是什么？

(5)未知量与已知量之间有什么联系？

(6)解决问题的关键点是什么？

(7)如何在未知与已知之间架起沟通的桥梁？

教师应该引导学生思考以上问题，并在回答这些问题的同时逐步完成观察、分析、比较、归纳的整个过程，最终完成问题的解答.最后，教师要引导学生学会对以上的思维过程进行反思，形成对规律探索问题的归纳过程的一般性的活动经验，提高学生的思维水平，从而把本节课数学思想方法的教学目的落到实处.

让学生在规律探索课中，体验一个规律的归纳和提炼过程，让学生感受其中的方法和魅力，他们会受益终生.

在课后的访谈中，老师提出来：不知道学生是不是都学会了？！这是一个诚恳的问题，也是班级授课的难题.数学课堂教学中，在教师选择适当的教学活动，培养学生数学能力，让学生形成数学活动经验之外，我们认为还应有一个很重要的认识：让学生主动学习，成为课堂学习的主人，从而提高数学学习效率.下面，我们抛开这节课的具体内容，对主动学习的意义进行简要论述,作为对授课老师提出的这个问题的一个回应.

4 让学生主动学习，提高教学效率

4.1 学与教的对应关系

教最终是为了学.正因为学有许多有顺序的阶段，教才有这些阶段.教学的目的是促进学习，意味着安排外部情境、以便激活、支持和维持构成学习事件的内部过程.加涅根据学习和记忆的模型，以及课堂里的教学事件，建立了如下对应的模型：

这个模型将教学的各个环节与学习过程的各个阶段建立了一一对应的关系，由此可以看出，课堂里数学老师做的一切工作都是为了促进学生的学习.老师们精心设计教学的引入、创设问题情境、课堂互动，对学生进行反馈和评价的各个教学环节，显然和学习的信息加工理论所识别的学习与记忆的内部过程有关.

正如加涅在《学习的条件和教学论》中指出的，讲授式教学不属于一种互动方式，教学的事件不能够适应每一个学生的每时每刻的需要.就所有的听讲者而言，这些事件在支持学习过程中的预期效果并不是确定的.所以学生自己应当对从讲授中获得的学习负有最大的责任.对于准备良好且具有适当动机的学生，从讲授中学习不仅是有效的，而且也是令人愉快的.也就是说，学生要自己采取主动，才能取得学习的成功，课堂教学的效益才能最大化.

4.2 学生主动学习的意义

关于学生主动学习，对学习和理解数学的意义，中外学者表现出一致的意见.美国伊利诺大学数学教育改革委员会主任比伯曼(M·Beberman)说:“如果学生积极参与发展数学思想和程序,他就能理解数学.”北京师范大学丁尔陞教授认为，“如果学生能够主动地学习数学，那么他们能学得更好，而且能发展自主的行为模式，增强数学思维能力.把学生从被动中引出来去主动的思考数学是不容易的”，“只有当学生积极参与，他们的推理、解决问题和用数学交流思想的能力才会发展”.

怎么让学生做学习的主人，中国的数学教学名师们提出了很多经验和建议.特级教师孙维刚老师提出，课堂上,促使学生超前思维,并形成向教师(包括课本)“挑战”的态势,使学生在思维运动中训练思维,真正做学习的主人.

北京四中特级教师刘坤认为，目前数学教法中存在的主要的问题是教师讲的太多，启发调动学生的主动性显得不够.把提高学生的智力参与水平作为改进教法的突破口，具有重要的普遍意义和现实意义.

我们看到无论是数学教育专家，还是资深数学教师，均一致的认为，如果学生能够主动地学习数学，那么他们就会学得更好.因此，在课堂上，在教学中，如何激发学生的主动性，提高学生的学习参与度，是教师在教学设计和实施中考虑的重点.

回到授课老师提出的问题，要想让学生学会，学好，应该让学生主动学习，深入参与课堂教学，在探索课上，让学生自己真正探索.

5 结语

本文意图以一节初三的专题复习课为载体，探讨数学课堂教学，因此在以下方面存在一些局限：首先，评价一节课的角度很多，除了本文考虑的这些方面，还可以观察的维度有：课堂中的知识呈现、课堂文化等，文章只是选取了其中的某几个角度；此外，我们选择的是一节初三的复习课，不能代表数学课堂教学现实的全貌.但是，笔者依然认为这节课在某种程度上反映了当下数学课堂教学的一些现实.我们希望基于本文分析的角度，老师们从中看到数学课堂教学的内核，紧紧围绕数学课堂教学的核心——数学内容和数学思想方法，合理组织教学，提高学生的参与度，真正帮助学生积累数学活动经验，提高思维水平，切实提高数学课堂教学效率.