抛物线定义的教学①

朱胜强

(南京外国语学校 210008)

1 问题的提出

苏教版教材对于椭圆、双曲线及抛物线等圆锥曲线定义的介绍统一地放在“圆锥曲线与方程”这章的第一小节“圆锥曲线”中.

先让学生直观感知,用不同的平面截圆锥面可得到三类不同曲线(如图1),并以椭圆为例,用Dandelin双球引导学生发现椭圆的几何特性,形成椭圆的定义.这样处理,便于让学生参与到定义形成的思维活动中来,改变了以往学生只能被动接受的局面,有利于学生更深刻地认识椭圆.类比椭圆得到双曲线的定义也就显得顺利成章了.

图1

图2

然而,教材在给出抛物线定义之前却未能像椭圆那样做充分的铺垫.但抛物线又不能像双曲线那样可与椭圆进行充分类比.在抛物线定义之前,教材只有如下一段文字:

对于第三种情形(指图1中的③),平面与圆锥曲线的截线是一条曲线,截线上任意一点到平面内一个定点的距离与一条定直线的距离相等.

无论是文字还是图形,学生都无法从中看出这一几何性质的由来.平面内的一个定点是哪一点?一条定直线是哪一条直线?是怎么发现的?在获得椭圆、双曲线定义后,抛物线的定义却成了学生前进道路上的拦路虎,他们不得不等待教师的点拨.

许多教师也觉得抛物线定义的教学比较棘手,因而干脆就将定义直接告诉学生,认为这样做反正也不会影响后续圆锥曲线内容的学习.

数学教学的目标不只是限于让学生掌握既有知识,还应让学生经历知识形成的过程,让学生学会主动获取知识,学会数学地思考.从这样的角度来看,又该如何进行抛物线定义的教学呢?教材在这里为我们留下了较大的思考空间.

2 引导学生定义抛物线

圆锥曲线体现了事物间对立统一的关系.几类曲线都可由平面截圆锥面而得,当平面与圆锥面轴线所成的角变化时,所得截线便可由圆变为椭圆,再变为抛物线、双曲线.因此,虽然抛物线与椭圆、双曲线是不同的曲线,但它们在本质上应存在着相互联系,这可成为沟通已知与未知桥梁.

但教材对椭圆、双曲线、抛物线间的联系是在“圆锥曲线的统一定义”中才给出的,安排在三种圆锥曲线学习之后.所以,在刚接触圆锥曲线时,便介绍统一定义,显得不合适.

其实,能反映圆锥曲线间联系的不仅仅是统一定义.从一些常用的作圆锥曲线的方法中也能看出不同曲线间的联系.有的作法既能作椭圆,也能作双曲线.当部分条件变化时,椭圆可变为双曲线,或双曲线变为椭圆.这种演变的过程往往为新的发现提供了契机.

下面我们来看一种常用的作椭圆、双曲线的方法.

在平面内选定两点K,F1,在直线KF1上取一点F2.以F2为圆心,F2K为半径作圆C,在C上取一动点G,连结GF1,作线段GF1的垂直平分线交直线GF2于点P.则PF1=PG.

当F1在C的内部时,PF1+PF2=F2K,F1F2

当F1在C的外部时,|PF1-PF2| =F2K,F1F2>F2K,可知点P的轨迹是双曲线(如图4).

图3

图4

改变点F2在直线KF1上的位置,所得曲线会发生相应的变化,既可得到椭圆,又可得到双曲线.

若F2在KF1的延长线上不断向右移动,直线PG与直线KF1逐渐趋向于平行.得到的椭圆会变得越来越扁,越来越长.当F2向右充分远时,过K的圆弧看起来也像一条与KF1垂直的直线,PG则像是与直线KG垂直的直线(如图5).

若F2在F1K的延长线上不断向左移动,过K点的圆弧及直线PG也会发生同样的变化 (如图6).

图5

图6

无论F2无限向左还是无限向右运动,对应的双曲线或椭圆都无限趋近于同一条“看起来很像抛物线”的曲线.夹在所有这些双曲线与椭圆之间的曲线会是一条什么样的曲线呢?

将过K的圆弧用过K且与KF1垂直的直线l代替,G为l上的动点,过G垂直于l的直线与线段GF的垂直平分线交于点P,这时P的轨迹会怎样呢?

椭圆、双曲线的定义中,曲线上点的几何特征都是用距离来刻画的.这一曲线上点的几何特征也能用距离来刻画吗?

图7

在平面中作出到定点F1的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹(如图7),学生很自然地认为这是抛物线.至此,也就明确了抛物线的定义.

3 说明截线是抛物线

在新课程教学中学生会遇到三种称之为“抛物线”的曲线.一是初中学习的二次函数的图象;二是平面截圆锥面所得的一类截线;三是用定义给出的抛物线.其中二次函数的图象与定义给出的抛物线间的关系,在学习了抛物线方程后会很自然得到说明.为什么平面截圆锥面得到的截线是定义所指的抛物线呢?这样的问题是许多学生在学习了抛物线定义后未必真正清楚的.用苏教版教材进行抛物线定义教学时,对问题答案的期待则更显特殊.因为截线是椭圆与双曲线时,都有了合理的解释.

如何说明平面截圆锥面所得截线(即图1③)的确是抛物线,这需要从抛物线的定义的角度来给出解释.不妨仍借助Dandelin球来尝试解决这一问题.

图8

设平面α不过圆锥面的顶点且与轴线所成的角恰好等于母线与轴线的夹角.α截圆锥面得截线.取一球使其与圆锥面及平面α均相切.记球与平面α的切点为F(如图8).

在截线上任一点P,记过P的圆锥面的母线与球面的切点为Q,则PF=PQ.

要说明截线符合抛物线的定义,还需在平面α内找一条直线l.如何确定这样的直线呢?

不妨做一个假想,这条直线不会凭空产生,应该是某一平面与α的交线.这就需要找一个与α相交的平面.

观察图形,目前有的是圆锥面与球面,都是曲面.除平面α外,并没有其他现成的平面.有没有隐藏着的,未被察觉的平面呢?仔细观察发现圆锥面与球面相切的切点构成了一个圆,是平面图形,自然会确定一个平面.不妨设这个平面为β,显然β与轴线垂直.平面α,β有一条交线,记为l.

l是否符合要求呢?也就是P到F的距离是否等于P到l的距离.

过P在平面α内作l的垂线,垂足为G,设P在平面β上的射影为H.则lPG,lPH,所以l平面PGH.所以,平面PGH平面α,故PG是PH在平面α上的射影.所以∠HPG即为PH与平面α所成的角.又因为PH与圆锥面的轴线平行.所以∠HPG等于圆锥母线与轴所成的角.所以∠QPH= ∠GPH.所以PG=PQ.又因为PF=PQ.所以PF=PG.

也就是说,截线上任一点到定点F与定直线l的距离相等.这说明截线是抛物线.

4 对教学的思考

长期以来,抛物线一直是中学数学中的重要内容.在大纲版教材中,抛物线定义安排在椭圆、双曲线的第二定义之后,定义的导出显得十分自然.新教材中,由于解析几何内容的取舍及编排顺序的改变,加之教学理念的更新,使抛物线定义教学遇到了新情况.为此,教师应充分研究教学内容的特点,寻求符合学生认知的教学设计.让课堂思维活动有一个清新自然的过程,使数学知识的发生、发展与学生的数学思维有机融合.可以看出,数学内在的自然和谐是追求自然教学过程的源泉.在遭遇抛物线定义教学困境时,正是圆锥曲线的内在联系,为解决问题提供了突破口.

教学中应充分发挥数学思想的导向作用.从椭圆到抛物线或从双曲线到抛物线,曲线的类型都发生了质变.若以等量思维来考察曲线的变化,永远无法实现跨越.这里引入了极限的思想或无限逼近的思想,通过直观图形,让学生感受抛物线是椭圆或双曲线在一定约束条件下无限演变后的一种极限形态,在已知曲线几何特征的衬托下,顺利地发现抛物线的几何特征.在教学设计中有意识地融入数学思想,可有效地引导学生的思维.

在抛物线定义的教学设计中还应考虑到学生的实际接受能力.虽然许多与《标准》配套的教材都介绍了用平面截圆锥面可得圆锥曲线,但也有多种教材并没有用Dandelin球说明这些截线具有此后定义的圆锥曲线的性质,苏教版也仅用它说明椭圆的性质,应是考虑到这样的说明对立体几何有较高的要求的缘故.不过,在条件许可的情况下,如果能合理地通过信息技术展示图形中的相关元素的位置关系与数量关系,让学生了解到截线也符合抛物线的定义,对学生更全面地理解抛物线的定义,从整体上把握圆锥曲线或许会有所帮助.