例谈几何辅助线的添加规律

高建成

摘 要：在几何解题教学中，为了证明结论的正确性，常常需要添加辅助线.辅助线的添加是有规律的.在教学中，教师应该引导学生对几何问题进行逐步分析，随着分析的进程，辅助线就自然生成，结论的证明也就顺理成章.

关键词：解题教学；基本图形；辅助线；规律

在几何教学中，学生常常会向教师提出这样的问题：“老师，这条辅助线是怎样想出来的？”“老师，添辅助线有规律吗？”“添辅助线的规律是什么？”“老师，为什么你会想到这样添辅助线，而我就想不到？”……要很好地回答学生的问题，教师就要回到几何的本原，回归基本图形进行思考与挖掘，前者是基于《几何原本》逻辑推理的理性，这个思维链条太长；后者回归基本图形，是思维的浓缩与凝炼，能够提高思维效率.

我们都知道，任何复杂的几何图形都是由基本图形组成的，这些基本图形是组成一个几何问题图形的最简单、最重要、最基本的，但又是具有特定性质的图形，能明确地阐明应用条件和应用方法的图形[1].添加辅助线利用基本图形分析，就是一种建立在对每一个基本图形和图形性质的分析、认识、应用基础上，将不完整的、残缺的基本图形补充完整，从而添加辅助线的分析、思考方法.

任何一个复杂的平面几何图形，都是由若干个基本的平面几何图形组合而成，当若干个基本的平面几何图形组合而成为一个平面几何问题时，许多条件、性质、结论就隐去了.所以几何解题教学中的分析和思考，就是要将这一综合过程反过来进行，剖析、再现并找到这些基本的平面几何图形，应用这些基本平面几何图形的条件、性质、结论，使问题得到解决.

显然，基本图形不是构成几何图形的基本元，例如线段、垂线、三角形、圆等，它们必须是完整的图形，有特定的性质，更为重要的是要能讲清楚这个图形的应用条件和应用方法，才能进入基本图形的集合.下面，以一道几何证明题为例，说明如何利用基本图形寻找、添加辅助线进行解题教学.

一、案例分析

案例：如图1，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，BE是∠ABC的角平分线，过E作EF⊥BE交BC于点F，EG⊥BC，垂足是G，求证：DG=BF.

分析：本题的条件中出现BE是∠ABC的角平分线和EF⊥BE，EF既是角平分线又是BE的垂线，就出现角平分线和向角平分线所作的垂线，所以可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明，角分垂，辅助线就呼之欲出.而现在角平分线BE的垂线EF与角的一边BC已经相交，而与另一边BA尚未相交，所以应将它们延长到相交，也就是延长FE交BA的延长线于点H，补全基本图形（如图2），这是基本图形分析法中作辅助线的基本想法.

就可得△BEH≌△BEF，BH=BF，EH=EF，这里应用的等腰三角形中的重要线段就是这个问题的第一个基本图形（如图3）.

在证明BH=BF后，本题要证明的结论DG=BF，就转化为要证DG=BH，这是两条线段之间的倍半关系，而由于∠BEH=90°，所以这两条线段之间的倍半关系中的倍线段就成为直角△BEH的斜边，从而就可应用直角三角形斜边上的中线的基本图形（如图4）进行证明.

现在图形中是有直角三角形而没有斜边上的中线，所以应将斜边上的中线添上，图形上已有中点E，显然就要取BH的中点I，连结EI交AD于点J，就可得EI=BH，这里应用的直角三角形斜边上的中线就是这个问题的第二个基本图形，也就是添加第二条辅助线的来源（如图5）.

下面，问题就成为要证DG=EI.由于I，E这两个中点所在的线段具有公共端点，可以组成三角形，所以这两个中点的连线就是三角形的中位线，也就可得IE∥BF，这里应用的三角形中位线就是这个问题的第三个基本图形（如图6）.

在证明了IE∥BF后，就出现IE是△ABC内一条边BC的平行线段，所以可应用平行线型相似三角形进行证明，也就可得△AIE∽△ABC，而已知AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，所以AI=AE，AJ⊥IE，垂足是J，并可得J是IE的中点，JE=IE（如图7）.

这里应用的平行线型相似三角形就是这个问题的第四个基本图形（如图8）.

现在的问题就成为要证明DG=JE，由于條件还给出EG⊥BC，垂足是G，所以EG∥JD，而EJ∥GD，从而应用平行线的性质就能证明DG=JE，至此证明完成.这里应用的平行线就是这个问题的第五个基本图形（如图9）.

通过这一例题的分析，就可以发现像这样一道比较复杂的几何问题（图形），实际上是由五个基本图形组合而成的，分析并找到这五个基本图形，也就找到了添加辅助线的位置，再应用这五个基本图形的性质，就可以使问题得到解决，这样一种分析方法就是基本图形分析法，利用基本图形分析来添加辅助线就找到了规律.

二、教学启示

（一）几何问题中辅助线的添加是有规律可循的

任何一个复杂的平面几何图形，都是由若干个基本的平面几何图形组合而成的，当若干个基本的平面几何图形组合而成为一个平面几何问题时，许多平面几何图形的条件、性质、结论就隐去了，寻找基本的平面几何图形，并对残缺、不完美的基本平面几何图形进行补充和完善，就是添加辅助线的本质、规律所在.对平面几何图形进行剖析后发现，平面几何中的基本图形，综合起来有七大类：全等三角形、相似三角形、等腰三角形、平行线、特殊角三角形、与面积方法相关的三角形、与圆相关的角等等.这就要求我们在教学中，对基本图形要进行系统深入分析，在一个几何问题中，为什么会想到要应用这个基本图形而不是想到要应用另外的一个基本图形，显然是决定于这个基本图形的特征，决定于这个基本图形不同于其他基本图形的属于他本身独具的本质属性，决定于这个基本图形和其他基本图形的本质上的差异，因此，学生如何能够迅速抽离出基本图形，并选取图形中有用条件进行分析就很关键.

有了这种基本认识，教师在面对前面的问题“老师，添辅助线有规律吗？”“添辅助线的规律是什么？”“老师，这条辅助线是怎样想出来的？”“老师，为什么你会想到这样添辅助线，而我就想不到？”时，就能作出正确的回答：探寻隐去的基本图形.几何问题中添辅助线的规律，只要经过认真的学习，是可以学会，可以掌握的.endprint

（二）几何问题中的每一条辅助线都是分析的结果

对每一条辅助线都能够讲清楚它是怎样想出来的.题目千变万化，唯有思维方法不变，规律要个人参悟.只能意会几何问题中的所有的辅助线是从哪里来的.它们都应该是由人的大脑想出来的，应该是人们经过分析、思维得到的，而绝不是从天上掉下来的.因此，几何问题中的每一条辅助线都应该是分析的结果，从而对每一条辅助线，我们也就能够明白它是怎样想出来的.在平面几何教学中，教师应将每一条辅助线想出来的过程，剖析出来并展示在学生的面前，在一个几何问题的分析过程中，在任何一个步骤上，教师都能接受并经受得住学生的提问，并能给予正面、直接和正确的回答.

我们所讲的每一道例题，要有意识地采用展示思维过程的方法来进行介绍，问题很清楚，有了正确的思维过程，正确的证明过程就是必然的归宿，而没有正确的思维过程，正确的证明过程不可能从天上掉下来.正确的思维过程就是：反复回归到基本图形，从复杂图形中识别图形内在结构，利用基本图形性质去想象辅助线.

（三）几何问题中的辅助线是逐步添加出来的

几何问题的分析和思维过程，是一步一步推进的，老师的讲课就应该是像剥笋一样，一层一层地剥出来，让学生清楚地看到一步一步走向成功的思维过程，这是几何教学成功的关键，也是衡量教师教学水平和教学能力的一条重要标准.因此，辅助线的添加应该随着分析过程的进行，分析到哪里，添加到哪里，因而是逐步添加出来的.

尤其是当一个问题中出现多条辅助线时，这些辅助线的添加有一个先后的次序和过程，只能是一条一条、有先有后地想出来或添出来，从而也就只能随着分析过程的进行和发展，逐步添加，逐步完成，也就是分析到哪里就添到哪里，这样就能够完整地向学生显示每一条辅助线是怎樣想出来的，整个问题的解决又是怎样一步一步想出来的.在这样一个前提下，我们还可以进一步发现，几何问题中的辅助线是既不能少添，这样问题就会解决不了；也不能多添，因为这时多添加出来的部分就会是说不清楚道理的.

综上所述，平面几何基本图形分析法的独创之处，就在于具体而周全地展示每一个平面几何问题的思维、分析过程，详尽地介绍每一个平面几何问题是怎样一步一步想出来的，基本的平面几何图形也是随着思考的进程而被逐个发现出来的，一条条辅助线也是随着分析的过程而自然“生长”出来.这样，就从根本上消除了学生长期以来存在着的对平面几何学习、实质上就是对添辅助线问题学习的畏惧心理.

参考文献：

[1]陆丽丽.一个基本图形的拓展与应用[J].中学数学（初中版），2012（9）：79-81.endprint