初中数学“翻折与旋转”问题的题型及教学策略研究

梁兴安

【摘要】本文总结初中数学中出现的翻转问题的题型与翻转问题题型的衍生题型——旋转问题题型，论述不同题型的教学策略。

【关键词】初中数学 翻转问题 旋转问题 题型总结 教学策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）09A-0038-02

学数学的目的之一是将数学知识运用到实际生活当中并解决相应的问题。翻折问题和旋转问题是比较贴近生活的，学生需要通过生活去总结这类几何问题的规律，并且充分运用想象力，让图形能够“动”起来，感受“翻折与旋转”问题在现实生活当中的含义。

一、翻折问题

翻折问题其实质就是对称问题，在一个平面当中，对称问题可以分成两大类，首先是图形之间的对称，通常为两个图形之间存在对称关系，也可以是多项式当中的数与数关于某个基点相互对称，这种对称方式我们称之为中心对称；还有对称方式是关于一条特定直线形成的对称，这种对称方式我们称之为轴对称。在一个较为立体的空间当中，还有两个几何体关于特定平面之间的对称，但是在初中数学当中应用得不多。在初中数学中，翻折问题主要分为矩形翻折、纸片翻折、三角形翻折、圆形翻折四类问题。

（一）矩形翻折

在初中数学当中，矩形的翻折问题是非常多见的，因为矩形的形体比较简单，学生在想象时也较为容易，可变化程度也较高，因此得到了广大出题教师的喜爱。例如：将一张长方形纸片按如图1的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度。

这个题目是典型的矩形翻折问题，教师在讲解这个题目时，首先需要让学生认清哪些是不变量、哪些是变量。在弄清楚两者之后，学生对题目就会有更加深刻的认识。在这道题当中，原条件是一张长方形纸片，由BC和BD两道折痕可以得出∠ABC与∠GBC是相等的、∠HBD与∠EBD是相等的，因此∠CBD实际上是180°的一半，即90°。教师在讲解此类题目时，一定要提示学生在解题时注意每一个折叠过程当中的“变”与“不变”，理解折叠问题当中的对应边与对应角之间的关系。

（二）纸片翻折

纸片翻折与矩形翻折相类似，但是不同的是纸片翻折问题更具有普遍性，它是翻折问题的精髓所在，对学生在纸片翻折问题上的概念理解有更高的要求。在初中数学当中，出题者往往根据学生已经学过的同位角、对顶角和互补角的性质来出题。例如：如图2，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）。

这个题目很典型地引出了纸片翻折问题，在讲解这类题目时，教师可以指导学生将图形中的点用A、B、C、D、E、F等标记出来，如图2.1所示，学生在标记的过程中也能对题目有进一步的理解，帮助学生高效读题；之后，教师再引导学生分析题目中给出的条件，尝试解答。由题意可知∠DEF=30°，根据对顶角关系可知∠BEA=∠DEF=30°，同时又根据同位角关系得知∠GAE=∠BEA=∠DEF=30°，这样就可以求出∠1=∠2=75°，再根据三角形内角和是180°求出∠α=75°。在这个题目当中，求角α的度数运用了折叠前后的不变性来解题。在初中数学的纸片翻折问题当中，这样类型的题目占了大多数。

（三）三角形翻折

三角形作为初中数学当中常见的几何图形，三角形中的翻折问题也是中考的常见类型。教师在出题的时候，对于三角形的翻折问题是比较重视的，由于学生在初中数学当中已经接触得比较多三角形了，因此在做题时比较得心应手[1]。三角形的种类较多，在实际解题中会衍生出多样的情况，因此教师在讲解三角形中的翻折问题时，应着重加强学生对已知条件的分析及对三角形自身的条件的分析能力，使得翻折问题更加明确、容易解决。

例如：如图3，把Rt△ABC（∠C=90°）进行翻折，使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=_________________。

这是一个典型的与三角形相关的翻折问题，在初中数学当中也较为常见，在直角三角形ABC当中，由已知得△ADE与△BDE是关于ED对称的，而△DBE与△CBE是关于EB对称的。因此就可以很快得出结论，CE与ED是相等的，CB=BD=AD，再根据勾股定律来解题，假设AD=1，很快就可以得出CE与AE的比值。此题较为综合，也是典型的勾股定理、三角形转化与翻折相互结合的题目。

除此之外还有较为典型的探究类型的题目，例如：在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：

①如图4.1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，求∠1+∠2的和；

②如图4.2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；

③如图4.3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系。

根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理可求出答案。诸如此类的探究题目，在题目当中往往都有固定的条件，教师在指导学生做题时，需要让学生注意各个条件之间的关系，并且通过题目当中的条件去做一定的整改，把握好折叠的本质，这样一来，学生解题就会游刃有余。

（四）圆形折叠

由于初中生对于圆性质的掌握还不够熟练，因此在与圆形相关的折叠问题上可操作性不大。在初中数学当中，圆形折叠问题不常见，但是仍然需要学生掌握。

例如：如图5，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圓上的F点，求BE的长。

圆形折叠问题虽然看起来比较复杂，但是越是复杂的题目实际上却越简单。教师在讲解此题时，可首先指导学生作出辅助线如图5.1所示，接着引导学生根据圆、三角形的特征分析图中的边角关系，从而得出结论。

翻折问题在初中阶段多为以上几类，除此之外，学生还需要掌握运用数形结合的方法来做题的策略，善于观察生活当中的细微之处，联系、分析和比较异同，这样才能够在解决翻折问题时不受阻挠。

二、旋转问题

旋转问题是初中数学当中的难点与重点，一般都是以综合类型题目的形式出现。旋转问题通常可以作为翻折问题的衍生题，教师应该先让学生熟练掌握翻折问题，随后旋转问题自然就迎刃而解了[2]。

例如：如图6所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α°得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′，直线B′C′分别与直线BC相交于点P，Q。

（1）四边形OABC的形状是______，当α=90时，的值是______；

（2）①如图6（b），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时，求的值；

②如图6（c），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积。

这是典型的旋转问题，在这个题目当中，可以明确地观察到四边形OABC旋转后的每一个点是解题的关键点。教师在指导学生做旋转类型的题目时，需要让学生时刻抓住题目的关键点和关键步骤，弄清楚在旋转过程当中会变化的量和不会变化的量，这样做题才会更加地得心应手。

总而言之，随着教育体系的进一步深化改革，贴近学生生活的翻折与旋转问题得到了越来越多的应用。教师应该顺应教育潮流、根据实际情况，帮助学生发散思维及培养创新能力，总结现阶段出现的翻折和旋转问题，让图形动起来，提高学生的几何分析能力和综合思维水平，帮助学生在未来的学习生活当中打下坚实的基础。

【参考文献】

[1]数学问题解决认知模式及教学理论研究[D].南京师范大学，2013.

[2]戴尔·申克著，学习理论：教育的视角[M].韦小满等译.南京：江苏教育出版社，2012.

（责编 刘小瑗）endprint