合情推理之归纳推理

河北易县中学邮编(074200) 边红霞

合情推理之归纳推理

河北易县中学邮编(074200) 边红霞

1 内容概述

合情推理是指合乎情理的推理,包含归纳推理和类比推理.法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比”.

归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者是有个别事实概括出一般结论的推理.归纳推理能够发现新事实,获得新结论,在解决高考题目中发挥着重要作用.

合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养,是数学核心素养之一,是解答数学问题一种重要的思维方法.

2 例题示范

评析 这道题是给出了前后两个函数之间的关系,实际上是给出了一个递推关系,由前几项所得几个特殊值,通过观察归纳出一般结论,这是一种很好的思维方法,本题合理的使用了归纳推理.

一般对于给定了递推关系的数列,又给定了首项,这时往往要再求出几项,然后根据规律,猜想结果,这就用到归纳推理.

例2(2015年陕西卷)观察下列等式：

据此规律,第n个等式可为____.

评析 本题考查了观察、分析、猜想、归纳、求数列的通项公式方法,考查了归纳推理能力与计算能力.这道题目难点在于对式子结构特点的寻找,一定要观察数列的项与序号之间的关系,数列中项数与序号间的联系,同时注意观察符号的变化,培养观察能力,迅速得出判断.

例3 (2017年全国卷II)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说,我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

解 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁两人,一人优秀一人良好,乙看到丙的结绩则知道自己的结果与丙的结果相反,丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反,即乙、丁可以知道自己的成绩,故选D.

评析 合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.

例4 (2017年全国卷I)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A.440 B.330 C.220 D.110

解 试题分析.由题意得数列如下：

所以k=2t-3≥14,则t≥5,此时k=25-3=29,对应满足的最小条件为故选A.

评析 这道题给出的数列,表面看是杂乱的,但是它在给出解释时又告诉了我们一个重要的实事,它是分了第一组数、第二组数、第三组数等等,并且每组数都是等比数列,于是,将此数列按每个小等比数列进行重新排列,出现了行等比数列,这样将数列的求和问题转化为了分组求和问题.通过在杂乱中找规律,使无序变有序,巧妙的利用归纳推理,找到了解决问题的思路和方法.

今年的高考题再次以它的端庄典雅,提醒我们,只有突出数学的本质,实现数学自然的回归,才有利于落实考察学生的数学核心素养,有利于学生的终身发展.

例5(2014年湖南卷)已知函数f(x)=xcosx-sinx+ 1(x＞0).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N∗)个零点,证明对一切n∈N∗,有

解 (1)f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令f′(x)=0,得x=kπ(k∈N∗).当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sinx＞0,此时f′(x)＜0;当x∈((2k+1)π,(2k+ 2)π)(k∈ N)时,sinx＜ 0,此时f′(x)＞ 0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).

(2)由 (1)知,f(x)在区间 (0,π)上单调递减.又 f(0)=1,f(π)=1-π＜0,发现故又f(2π)=1+2π＞0,所以在(π,2π)之间存在零点,设为x2,f(x2)=0,由此推测,当n∈N∗时,因为

且函数f(x)的图像是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又 f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ＜xn+1＜(n+1)π.即,

评析 第一问利用求导找到函数的单调区间,导函数的符号取决于正弦函数的符号,因此类比正弦函数,得出函数的单调区间.

第二问,在寻找函数的零点时,首先充分利用第一问,先在第一个单调区间上发现两端点的函数值符号异号,根据零点存在原理,找到第一个零点,然后以此计算找到第二个零点,由此归纳出第n个零点存在范围,根据归纳的方法,找到了问题的突破点.

这是一道典型例题,体现了用归纳推理探求解题思路,

引领解题方向,达到解题目的.

[1]徐佰强.高中生数学合情推理能力的调查分析及培养[D].华东师范大学 2007

[2]卢仲学.高中数学概念教学模式研究[D].西北师范大学 2007

[3]刘秀华.数学问题解决中的思维障碍及教学对策[D].山东师范大学2008