2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛第9题的解法与探源

广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙宇

2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛第9题的解法与探源

广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙宇

本文分析了2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛的第9题,对其解法进行了解读.同时探究了该问题的命题背景.最后笔者仿照该问题设计了一道练习供读者参考.

一、试题

设直线l:y=x+b与椭圆不相交.过直线l上的点P做椭圆C的切线PM,PN,切点分别为M,N,连接MN.

(1)当点P在直线l上运动时,证明直线MN恒过定点Q;

(2)当MN//l时,定点Q平分线段MN.

二、解法呈现

证明 (1)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2).则椭圆过点M,N的切线方程为：

因为切线(1),(2)经过点P,所以

根据(3),(4)构造直线

显然点M,N经过直线(5),根据两点确定一条直线可知直线(5)即为直线MN.根据点P∈l可得：y0=x0+b,代入直线(5)可得：

该式对任意的x0∈R恒成立.令

即可知直线MN恒过定点

(2)当MN//l时,直线MN的斜率

总结：在第(1)问中,涉及到切线方程以及切点弦方程.其中切线方程可通过隐函数求导所得.具体如下：对椭圆方程求导可得：

代入切点(x1,y1)可得切线方程为：

通过切线方程及两点确定一条直线求得切点弦方程.根据点P的任意性求得对用的定点Q.对于第(2)问,通过斜率关系确定直线MN的方程,求得MN的中点坐标,经验证与点Q重合.

三、探源

第(1)问中直线l与点所求的定点Q是“极线”与“极点”之间的关系.

定义：已知圆锥曲线

则称点P(x0,y0)和直线l:是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.

其变换原则如下：在圆锥曲线中,以x0x替换x2,以替换替换x,(另一个变量y也是如此).

特别地对于高中常用的圆锥曲线：

(3)抛物线y2=2px,对应的极线为：

极点与极线的基本性质：

定理1(1)当点在圆锥曲线上时,其极线是曲线在点处的切线;

(2)当点在外时,其极线是切点弦所在的直线;

(3)当点在内时,其极线是过点的弦两端点的切线的交点所构成的集合.

定理2(配极原则)点P关于圆锥曲线Γ的极线p经过点Q,点Q关于Γ的极线Q经过点P;由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.证明过程参看文[1].

在此背景下,点的求解过程可简化如下：

点与直线MN是一对“极点”与“极线”,根据(配极原则),当点P在直线l上运动时,对应的极线MN必共点,即点Q.且点Q与直线l也是一对“极点”与“极线”.

设点Q的坐标为(xQ,yQ),对应的极线为1与直线l:y=x+b重合.显然易得点Q的坐标为

在第(2)问中,涉及到弦中点问题.

证明 设点M,N的坐标为(x1,y1),(x2,y2).满足椭圆方程得：

由此可知,第(2)的解答可化简如下：

设直线MN过点Q,且MN//l.可得：直线MN的方程为

四、练习

已知抛物线C:y2=2x,过直线y=x+1上的一点P做抛物线C的两条切线PM,PN,切点为M,N.

(1)证明直线MN恒过定点Q,并求得点Q的坐标;

(2)当Q为弦MN的中点时,求直线MN的方程.答案：(1)Q的坐标(1,1);(2)直线MN的方程：y=x.