APOS理论下几何概型的教学设计

徐兰

摘要：几何概型是高中数学比较抽象的一个概念，反映的是数学关系与空间形式本质属性的思维形式，依据APOS理论的概念教学建构的四个阶段：Action（操作阶段）、Process（过程阶段）、Object（对象阶段）、Schema（图式阶段）来设计本节课，让学生能够通过自我操作、自主认知来建构几何概型这个数学概念。

关键词：APOS理论；概念教学；几何概型；建构

中图分类号：G633.63文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）21-017-2

APOS理论将概念的建构分为四个阶段，操作——过程——对象——图式四个阶段。（1）操作（活动）阶段：强调学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念之间的关系，通过操作活动理解概念的意义。（2）过程阶段：对操作再思考，经历思维的内化，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念所特有的本质。（3）对象阶段：认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到准确化，成为一个具体的对象。（4）图示阶段：反映概念的定义及符号，建立与其他概念、规则、图形的联系，形成综合的心理图式。APOS理论不仅真实地反映了数学概念的思维过程，更强调了概念建构的最终结果：在脑海中建构综合的心理图式。几何概型的概念反映的是数学关系和空间形式本质属性的思维形式，所以这个概念非常地抽象，学生理解起来也比较困难。

下面笔者用APOS理论指导下设计这节概念教学课，谈谈对这个概念的引入与学习。

一、操作（A）阶段——创设问题情境，感知几何概型

情境引入实验1：运动员射箭的靶面是半径为10cm，黄色圆半径为1cm，现一人随机射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面任意一点都是等可能的，问射中黄色圆的概率是多少？

设计意图；这个问题情境在初中学生就接触过，学生用面积之比来计算相应的概率。从学生熟悉的场景入手让学生感知到这个问题与已学的古典概率是不一样，是一种新的概型。

二、过程（P）阶段——深入探究，内化概念

实验2：500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，问发现草履虫的概率？

实验3：某人在7：00～8：00任一时刻随机到达单位，问此人在7：00～7：10到达单位的概率？

提问（1）：一次试验是什么？有多少种可能性？是不是古典概型？

提问（2）：每一个基本事件该怎么描述？每个基本事件的发生是否等可能？所有的基本事件可以怎么描述？

提问（3）：事件A是什么？事件A的发生又该怎么描述？

通过师生活动对这三个问题的解答最后提炼出：一次试验是箭射中靶面，有无数种可能性，每个基本事件可以看成在靶面上取一点，且每个基本事件发生是等可能的，基本事件的总和就是整个靶面，事件A是箭落在的黄色圆面，所以事件A的概率等于黄色圆面的面积/整个圆面的面积；

实验二中一次试验是草履虫在水样中的位置，每个基本事件相当于在500ml水中取一点，有无数种可能性，且每个基本事件发生是等可能的，事件A是草履虫在随机取出2ml水样中，相当于在2ml的水样中取一点。所以事件A发生的概率等于水样的体积2ml/水样的总体积500ml。

实验三中一次试验是某人在7点到8点的某一个时刻到达单位，每个基本事件可以看成是长度为60的线段AB上取一点，有无数种可能性，且每个基本事件发生是等可能的，事件A是此人在7点到7点10分到达单位，相当于在长度为10的线段AC上取一点。所以事件A发生的概率为线段AC的长度/线段AB的长度。

设计意图：通过反思比较，归纳出这三个实验中的共同特征，实验中每一个基本事件都可以看成在某个区域D内取一点，且有无数种可能性，区域内每一个点被取到的可能性都相同，而事件A可以看成是区域D中的某个指定小区域d内取一点，这里的区域可以是线段、平面图形也可以是立体图形。经历数次的“操作”和“过程”阶段后，学生在大脑中的活动不断进行描述和反思，通过同化和顺应纳入原有的认知结构，慢慢地抽象概括出概念所特有的性质，从而在头脑中生成一种新的概型的认识和初步把握。

三、对象（O）阶段——建构对象实体，形成新的概念

提问（4）：同学们，类比于古典概率，刚才这些实验都有什么共同的特点？这样的概率问题我们就叫几何概型。有没有同学能够尝试讲一下什么是几何概型？

提问（5）：几何概型是如何计算的？

通过师生活动得出：一次试验中的每一个基本事件可以看成是区域D（线段、平面图形、空间图形等）内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内某个指定区域d中的点。满足这样条件的概率模型叫几何概型。事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的位置和形状没有关系。事件A的概率计算公式为P（A）=d的测度D的测度。

设计意图：通过学生的自我建构，将几何概型作为一个新的對象来认识，对其进行形式化、工具化的表述，这就是对象阶段应该达到的目标。对象阶段的达成取决于操作阶段和过程阶段的充分铺垫，对操作阶段和过程阶段的教学应该是用新奇的操作，点燃思维的火花，再用递进的问题导引思维的纵深。所以在概念教学时精心设计情境的引入和问题串要能留给学生足够的思维空间和探索机会。

四、图式（S）阶段——辨析概型，深入浅出

练习1：（1）x的取值是区间[1，4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。

（2）x的取值是区间[1，4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。

练习2：有根绳子长为3米，拉直后任意剪成两段，每段不小于1米的概率是多少？

设计意图：练习1把古典概型和几何概型放在一起让学生辨析两个概念，再次深化对概念的理解，练习2是一个样本空间没有现成给出的，需要学生建立起几何模型，根据题意引人适当的变量，再把题设中的条件用引入的变量来表达出来，这对学生对概念的掌握又提高了要求，所以这是一个思维螺旋上升的过程。

作为教师，我们要深入理解建构主义的知识观、学习观。学习不是教师向学生的单向传递，而是学生建构自己知识的过程，应重视学生的理解，倾听他们的看法。新的概念的建构需要一定的过程。对于高中生来说，他们关于某个图式的形成需要一定的时间，特别是过程和对象两个阶段，需要多次的反复，才能建出自我的图式，形成稳定的结构。APOS作为一种概念教学的尝试，还需要我们进一步地学习探索，才能更好地运用。endprint