探析高中数学函数的对称性学习

张新坤

【摘要】在高中数学函数的对称性学习过程中，我们需要通过理解来提高对对称性相关知识的记忆能力，从而提高高中数学的学习成绩及学习有效性。首先，从高中生角度，详细介绍对称性的概念。其次，阐述常见函数类型。最后，介绍抽象函数的对称性，全面介绍函数的对称性知识。

【关键词】高中数学 函数对称性 函数周期 中心对称数学属于高中学习中的重要组成部分，且以函数为主线，在高中数学学习中属于重点，也属于一个难点部分。函数是高中数学学习的核心，且是我们进行数学学习的根本基础。而函数中的对称性是其最基本的一个特点，我们在学习函数的单调性、奇偶性与函数的定义以后，已经能够直观性的了解函数的基础知识，从而用来理解函数的本质。对称性能够展现数学之美，主要是因为在高中数学学习的过程中，会碰到对称性问题，在传递给我们数学之美的同时，还能传授相关的数学知识，使我们养成清晰的解题思维。我们通过对函数对称性的学习，能够提高对问题解决的能力，提高自己的综合能力以及技巧的分析能力。

一、对称性的概念

对称性在高中数学函数中较为常见，函数图形中既存在轴对称，也存在中心对称。函数图形对称除了自身对称外，还存在图形对称。函数周期性、奇偶性、单调性均和其对称性存在密切的联系。

1.中心对称。假如有一个函数的图像，围绕着一个固定的点，进行180度的旋转，最后所形成的图形，能够与原来的函数图形重合，则把这个函数称为中心对称，我们就把这个点称为这个函数的对称中心。

2.函数轴对称。假如一个函数的图像，在沿着一条直线进行对折时，直线两侧的所有图像均可以重合，则就把这个函数称为轴对称，这条直线可以称为这个函数的对称轴。

二、常见函数的对称性

1.常见函数，不仅属于中心对称，而且也属于轴对称，而在直线中的全部的点都是该函数的对称中心，与这条直线存在垂直关系的直线则是该函数的对称轴。

2.三次函数。在三次函数中，奇函数最主要的特点是属于中心对称，原点是它的对称中心，其他类型的三次函数是否存在对称性，需要根据具体的题目来看。

3.对数函数，既不属于中心对称，也不属于轴对称。

4.反比例函数。反比例函数不仅属于中心对称，而且也属于轴对称，对称中心是原点，对称轴是y=-x和y=x。

5.余弦函数，不仅是中心对称，而且也是轴对称，它的对称轴是x=kπ，对称中心是（kπ+π2，0）。

6.正弦函数，不仅属于中心对称，而且还属于轴对称，它的对称轴是x=kπ+π2，对称中心是（kπ，0）。

7.正切函数，不属于轴对称，但是是中心对称，正切函数的对称中心是（kπ2，0），我们在日常学习过程中，普遍以（kπ，0）是它的对称中心。

8.正弦型函数：y=Asin（ωx+φ）不仅属于中心对称，而且也属于轴对称，在ωx+φ=kπ得出x，x的结果就是正弦型函数的对称中心的横向坐标，纵坐标是0。

9.一次函数，不仅属于中心对称，而且也属于轴对称，而处于直线中的全部的点都是该函数的对称中心，与这条直线互相垂直的直线，全部是该函数的对称轴。

10.二次函数，它的对称轴方程是×=-b2a，它属于轴对称，而不属于中心对称。

11.幂函数，可以分为偶函数与奇函数两种，其中偶函数的图像属于轴对称图像，y轴是它的对称轴。与之相反的奇函数的图像，属于中心对称，原点是它的对称中心。只有在幂函数属于偶函数或者奇函数的时候，对称性才会有点，别的类型的幂函数中是没有对称性的。

12.指数函数，指数函数既不属于中心对称图像，也不属于轴对称图像。

由于常见函数的对称性类型较为多样化，我们在函数对称性的学习过程中容易混淆，不应靠死记硬背，而是通过理解的方式，提高函数对称性的记忆度，并在例题的基础上，对相关理论知识进行实践，以解决高中数学函数对称性的问题，从而提高我们日常学习中的解题效率，养成良好的解题思路。

三、分析抽象函数具备的对称性

定理1：函数图像y=f（x）以点A（a，b）形成对称关系的必要条件为f（x）+f（2a-x）=2b{f（a+x）+f（a-x）=2b}。

假设函数y=f（x）符合f（3+x）+f（4-x）=6的要求，那么函数以（3.5，3）为对称中心；假设函数y=f（x）符合f（-x）+f（x）=0的要求，那么函数以（0，0）为对称中心。

推理：函数图像y=f（x）以原点O形成对称关系的必要条件为f（-x）+f（x）=0。

定理2：函数图像y=f（x）以直线x=a形成对称关系的必要条件为f（a+x）=f（a-x），换句话说就是f（x）=f（2a-x）。

推理：函数图像y=f（x）以y轴形成对称关系的必要条件为f（x）=f（-x）。

定理3：（1）假设函数图像y=f（x）以点A（a，c）、B（b，c）且a≠b，形成中心对称，那么就说明y=f（x）属于周期函数，一个周期为2| a-b|。

（2）假设函数图像y=f（x）以直线x=a、x=b形成轴对称关系，那么就说明y=f（x）属于周期函数，一个周期为2| a-b| 。

（3）假设函数图像y=f（x）不仅以点A（a，c）形成中心对称关系，又以直线x=b形成轴对称关系，且a≠b，那么就说明y=f（x）属于周期函数，一个周期为4| a-b| 。

在高中数学函数对称性的学习过程中，我们发现偶函数与基函数属于较为特殊的例子，而在试卷中并不是单纯针对对称性进行考察，而是与函数的周期性、单调性以及奇偶性等相结合进行考察，保证高中数学知识考察的全面性。

四、高中数学函数对称性学习策略

在学习数学知识中，为了更好地了解函数对称性学习内容，我们要想掌握这些知识，离不开老师的指导。即首先，如果在函数对称性学习过程中若遇到了一些困难，无法理解函数对称性的抽象概念，那么我们应向老师请教，请老师为我们做相关演示。这时老师往往会根据实际情况，利用Matlab软件和几何画板工具，为我们演示对称性函数的图形生成过程，我们也可以以更加直观的方式完成图形的观察，更好地了解对称性函數抽象概念。其次，在日常学习过程中，应认真听讲教师讲解重点、难点问题。例如，某次老师为加深我们对对称性的函数的理解，为我们重点讲解了函数的奇偶性和集合意义等内容。同时，设计了与之相对应的例题训练。即R上有一个函数，这个函数是非常数函数且满足如下条件：

若x=10-x，那么该函数是偶函数，且f（5+x）=f（5-x）

求解f（x）是什么函数。

这道题目是函数奇偶性训练的基础题目，所以，通过题目的设置不仅让我们初步了解函数对称性特点，还以循序渐进的方式完成数学函数对称性的学习。再次，因为数学知识是环环相扣的。所以，我们在数学函数对称性学习过程中，应注重把握好最基本的知识点。只有如此，才能为日后知识的学习做好铺垫，达到最佳的数学函数对称性知识学习效果，增强“题感”。

五、结语

综上所述，我们在高中数学函数对称性的学习过程中，普遍存在应用能力弱，动手能力差等问题，因此在日常学习中，需培养良好的解题方法与数学思想，并熟练掌握与理解函数对称性的基础知识，学会融会贯通，加强各知识间的连贯性，从而提高高中数学函数对称性的学习有效性。

参考文献：

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[2]刘俊.浅谈函数的对称性与周期性[J].语数外学习，2012，（08）：41.

[3]汤珠峰.谈高中函数中的奇偶性和对称性[J].中学教学参考，2014，（23）：20.endprint