数形结合解二次函数的图像信息题

马晓铭

数形结合解二次函数的图像信息题

马晓铭

二次函数的图像信息题是根据抛物线在平面直角坐标系中的位置特征来确定抛物线解析式中各项系数及其相关的代数式的符号.此题型立意新、设计巧，较好地将基础与能力有机结合，因此它倍受广大命题者的青睐，并成为数学中考的热门考点之一.解决这类问题的关键是：运用数形结合的思想和方法，抓住规律进行分析和推理.现将二次函数的图像信息题进行归纳并举例解析，与同学们分享.

例1二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图1所示，则下列结论成立的是（）.

图1

A.a＞0，bc＞0B.a＜0，bc＞0

C.a＞0，bc＜0D.a＜0，bc＜0

【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，

故A，C选项错误；

∴b＜0，

而抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，

∴bc＜0.故选D.

【反思】由抛物线的开口方向判断a的符号，然后根据对称轴进行推理判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，需要掌握的规律是：

b的符号：对称轴在y轴左边⇔a、b同号，

对称轴在y轴右边⇔a、b异号，

对称轴是y轴⇔b=0；

c的符号：与y轴交点位于y轴正半轴⇔c＞0，

与y轴交点位于y轴负半轴⇔c＜0，

与y轴交点是原点⇔c=0.

例2二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图2所示，有下列结论：（1）b＜0；（2）b2-4ac＞0；（3）a-b+c＜0，其中正确的个数有（）.

图2

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】（1）抛物线开口向下，∴a＜0，对称轴在y轴左侧，a、b同号，即b＜0，正确；

（2）图像与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，正确；

（3）由图像可以知道当x=-1时，对应的函数值y=a-b+c＞0.故选C.

抛物线与x轴有两个交点⇔Δ＞0，

抛物线与x轴只有一个交点⇔Δ=0，

抛物线与x轴没有交点⇔Δ＜0.

另外，当x取特殊值时，通过对应的点的位置可以判断与a、b、c相关代数式的符号：如点（-1，a-b+c）在x轴的上方可判断a-b+c＞0；

再如点（-3，9a-3b+c）、（2，4a+2b+c）均在x轴的下方，可判断9a-3b+c＜0，4a+2b+c＜0等.

例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图3所示，那么下列判断不正确的是（）.

A.abc＞0B.b2-4ac＞0

再次，建筑电气工程设备布局和布线繁琐。现代建筑电气工程涉及到的内容十分复杂，其中包含了大量的电气设备，除了要从整体控制的角度出发对设备进行科学选型之外，还应该对设备的布局和布线进行充分的考虑。但设备的复杂性却为这两项工作带来了较大的困难，常常出现因布局或是布线不当影响到电气系统运行效果的情况。对此，应该将电气工程和信息技术进行融合，引入智能化技术，如自动化控制、电子技术等，对电气设备进行统筹管理和控制，优化设备布局，在此基础上进行合理布线，这样既能够减少工作量，提升工作效率，同时还能为设备正常运行创造有利条件。

C.2a+b＞0D.4a-2b+c＜0

图3

【解析】抛物线开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，即b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故A正确；图像与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，所以B正确；由-＜1，a＞0可得-b＜2a，即2a+b＞0，故C正确；由图像可以知道当x=-2时，对应的函数值y=4a-2b+c＞0，故D不正确.

【反思】只与a、b有关的代数式一般和对称轴方程相关，如2a+b的符号判断：观察对称轴位于1的左侧，即-＜1，又由a＞0可得

若要判断4a-b，a+b等代数式的符号，可观察对称轴位于-2和左侧还是右侧，同时解不等式时，要注意符号.

例4二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图4，给出下列四个结论：①4ac-b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠-1），其中正确结论的个数是（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

图4

【解析】∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，∴①正确；

∵对称轴是直线x=-1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，

∴抛物线和x轴的另一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，∴②错误；

∵对称轴是直线x=-1，

∴3b+2c＜0，∴③正确；

∵抛物线的对称轴是直线x=-1，

∴y=a-b+c的值最大，

当x=m（m≠-1）时，y=am2+bm+c＜a-b+c，

∴am2+bm+b＜a，

即m（am+b）+b＜a，∴④正确；

即正确的有3个，故选B.

【反思】除a、b、c、b2-4ac的正负可结合图像判断外，还要灵活运用对称轴、特殊点的位置来确定和a、b、c相关的一些代数式的符号，有的时候还需要把图中得到的信息进一步整合.

二次函数图像信息题的特征是由图像提供的信息去研究函数的性质，从“形”的特征去判断“数”的符号.解决这类问题首先要提高识图的能力，其次要会分析和推理，从而做出正确的判断.

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）