反向思维在实变函数教学中应用

许刚

摘 要：实变函数是数学专业学生在大学本科阶段遇到的最难学的专业课之一，同时也是非常重要的专业学位课程，也是很多高水平大学数学专业研究生入学考试的必备课程，因此，学好这样一门课的重要性是不言而喻的。反向思维是实变函数学习中一种重要的学习方法，合理利用反向思维，可以让学生快速掌握相关学习内容。

关键词：反向思维；实变函数；反证法

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）35-0026-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.35.012

一、实变函数

实变函数是数学分析课程的进阶课程，数学分析的学习中尽管也强调理论证明和逻辑分析的严密性，但是由于内容的特点，仍不可避免地有大量的计算题，这就导致学生在学习过程中往往忽略了分析的本质，而片面地追求计算方法和计算的准确性。但是实变函数就完全不同，它的产生主要是为了克服Riemann积分的不足，试图建立更完美的微积分体系，因此，它是从集合论出发，建立相应的Lebesgue可测集理论，在此基础上建立可测函数理论，从而最终建立起Lebesgue积分。因此，实变函数需要将分析进一步严密化，回归到分析的本质上。在学习过程中，几乎遇不到计算题，从开始学这门课程的第一天到最后一天都是在证明中度过的，这就给学习这门课程带来了很大的难度。

二、反向思维

如果能够在教学过程中合理地引导学生利用反向思维，往往起到事半功倍的效果。反向思维是指能够从问题的反面思考问题，多问几个为什么，特别是问问如果不满足命题的条件会怎么样？如果要得到相反的结论又需要什么不同的条件？能不能举一些简单的反例？反向思维就是体现在学会使用反证法。其实对于学生来说，为什么会遇到题目不知如何证明，最直观的认识就是觉得条件不够用，因此就特别希望能够增加一些条件，反证法正好就提供了这么一个便利，通过增加一个与结论相反的条件，推导出与已知条件相矛盾的结论，从而证明相关命题。

三、反向思维对实变函数学习的帮助

（一）利于学生更加直观理解问题

这就说明“<”是能够取到的，这就会引导学生仔细地研究Fatou引理的证明，并判断到底是什么样过程让这个式子取“≤”而不是“=”，并且会进一步探究到底添加什么样的条件才能使“=”成立，从而推导出后面著名的Lebesgue控制定理。

（二）利于学生更加准确理解概念

课本往往只介绍了正面的结果，对于一些不成立的事实却只字不提，从而给学生的理解带来很大的误解，导致学生对于很多概念的理解很表面，甚至不正确。例如，在学习“集合测度”这个概念前，总是会先学习“集合外测度”的概念，尽管教师给学生强调过这两个概念有相同的地方，也有不同的地方，主要取决于集合本身的性质，在教学中也会举不可测集的例子，说明这个集合只有外测度，却没有测度。但是很多学生仍然会想当然地对这两个概念不加以区分，导致很多理解上的错误。

例如，在讲可测集时一定会提到，对于一个可测集E，一定存在可测集H和G，使得G？奂E？奂H，且m（H）=m（E）=m（G），即他们的测度都相等，这样的集合H和G，我们分别称之为集合E的等测包和等测核。而对于一个一般的集合E，周明强先生编写的《实变函数》课本上也会说，利用和前面类似的证明可以知道，存在可测集H，使得E？奂H，且m*（E）=m（H），即集合E的外测度等于可测集H的测度，这样的可测集H仍然称为E的等测包。但是课本上没有说明对于这样的一般集合E是否存在等测核？可以给学生提出这样一个思考题：“对于一般集合E，是否存在可测集合G，使得E？劢G，且m*（E）=m（G）？”绝大多数学生往往都会回答“存在的”。这就说明学生并没有理解测度和外测度的区别，因此，在课堂上需要再次引导学生“能否给出一个证明”，学生大都证明不出来。这时候再次引导学生利用反向思维来思考这个问题——“如果存在等测核会怎样？”从而进一步利用反证法来说明这个问题。

反证：如果存在E的等测核G，使得m*（E）=m（G）。那么从课本上的定理可知，等测包H也是存在的。从而就可以推导出H＼E？奂H＼G，且m（H＼G）=m（H）-m（G）=0，因此有m*（H＼E）=0，再由零測集一定是可测集可知，H＼E是可测集，再由E=H＼（H＼E）可知，E一定是可测集，从而与E是一般集合矛盾。这就说明对于不可测集是不存在等测核的。通过这个例子，让学生进一步明白了可测集与不可测集的区别、测度和外测度概念的不同。

四、结论

在教学中灵活运用反向思维，能够使学生快速准确理解实变函数中的概念和定理，并且这个记忆和理解是直观的，不容易忘记。

参考文献：

[1] 刘向华.反例在教学中的作用[J].数学理论与应用，2001（4）：82-85.

[2] 冯颖.在实变函数教学中融入数学文化的思考[J].高师理科学刊，2015（7）：66-69.endprint