不定积分的计算方法教学探析

黄国建

摘 要：不定积分方法的教学是高数的一个重点与难点，在教学中，若能基于数学思想方法的视角，顺着积分方法产生的逻辑去组织教学，往往会事半功倍，使学生掌握得更好。从数学思想与方法的角度，组织不定积分教学，解释这些积分方法产生的原因，可以让学生不仅知其然，还知其所以然。

关键词：不定积分；计算方法；数学思想

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）34-0021-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.34.009

不定积分方法的教学是高数的一个重点与难点，一般教科书上是先讲第一换元法，也称凑微分；然后讲第二换元法，包括三角代换和根式代换，最后再讲分部积分。这种方式只是按部就班陈述各种积分的方法，却忽视了这些方法产生的背景，学生只知其然却不知其所以然。事实上，这些方法背后是有很强的逻辑关系的，揭示了很强的数学思想与方法，在教学中，若能基于数学思想方法的视角，顺着积分方法产生的逻辑去组织教学，往往会事半功倍，学生掌握得更好。

一、逆向思维推导出的基本积分公式，是不定积分计算的基石

定义：设F（x）是函数f （x）的一个原函数，则f （x）的全体原函数称为f （x）的不定积分，记作 f （x）dx，即

f （x）dx=F（x）+C。

从原函数与不定积分的定义可以看出，积分运算和微分运算是互为逆运算的，从常用函数的导数公式可以得到相应的积分公式，一般教材中都有。这些公式是进行积分运算的基础，必须熟记.不仅要记住右端结果，还要熟悉左端被积函数的形式。我们所能计算的不定积分，无一例外都要化简到以上基本积分公式才能做出来。

例1 求 dx.

解 将被积函数拆项为部分分式之和，就可利用基本公式来解 dx= dx= dx- dx=- -arctan x+C.

二、应用基本积分公式作整体换元，就是凑微分

在不定積分的计算过程中，并非所有不定积分经化简后都可以直接套用基本积分公式，例如计算不定积分 sin10xdx，想用 sin xdx=-cosx+c这个公式必须要保证等号左边两个x是一样的。

故我们尝试把原积分变形后计算：

sin10xdx= sin10xd（10x）

令u=10x sinudu=- cosu+C u回代 - cos10x+C

这种先“凑”微分，再作变量代换的方法，叫第一类换元积分法，也称凑微分法。实际操作时，对凑微分法有三句话的要求：1.被积函数的外函数很容易积分，一般都是基本积分公式中的；2.在微分算子后尝试凑成被积函数的内函数的微分；3.凑好的微分一定要去计算，计算后和原来的表达式至多相差一个常数。

例2 计算 dx

解： dx=- 1-x d1-x =- 21-x +c= +c

三、当被积函数中的根式无法化简到基本积分公式来处理时，就产生了根式代换

在基本积分公式中，有根式的只有两个，要么把根式当作幂函数来积分，例如 dx；要么把根式当作 dx来凑微分，例如 dx。如果遇到的题目中的根式都没法化简到这两种情况，那意味着根式保留在被积函数中就没法积分了。那只有想办法去掉根式，这就是第二换元法的基本思路。

例3 dx.

解：题中对根式化到基本积分公式中无法解决。为了消去根式，可令 =t，则x=t2+1，dx=2tdt，于是

dx= dt=2 dt=2 1- dt

=2（t-arctant）+C=2（ -arctan ）+C

四、根式下有平方项时，根式代换往往不能去掉根式，产生了三角代换

当被积函数含有被开方因式为二次多项式时，如果也做根式代换，会达不到去掉根式的目的，因为求出反函数时仍含有二次根式。例如令t= ，解出x=± ，代入后被积表达式中显然还有根式，没有达到通过换元去掉根式的目的。可以结合三角函数公式，通过适当换元将二次根式内化作某个表达式的平方，就可以去掉根式了。

例4 求 dx（a>0）

解：为了消除被积函数中的根式，可令x=a sin t（-

= （1+cos 2t）dt= （t+ sin 2t）+C= （t+sin t cos t）+C

如图，可利用t是锐角时作辅助直角三角形，有t=arcsin

，cos x= ，

因此 dx回代 （arcsin + ）+C.

本文基于数学思想方法的角度，解释了不定积分各种方法产生的背景，让学生知道为什么会用这些方法。这样的教学组织形式，会比传统教科书按部就班讲述各种方法更易于接受也更好操作。

参考文献：

[1] 刘光，刘荣.不定积分教学方法探析[J].重庆科技学院学报（社会科学版），2005（1）：121-122.

[2] 王怡.不定积分计算方法及教法探讨[J].资治文摘（管理版），2010（5）：85.

[ 责任编辑 胡雅君]