2018年高考函数与导数的热门考点

■郑州一中 王黎丽

2018年高考函数与导数的热门考点

■郑州一中 王黎丽

通过对近几年全国新课标Ⅰ卷中函数部分试题的统计我们可以看出:在客观题中基本上每年都有试题单独考查函数的概念、图像与性质,以及基本初等函数的性质,有时也有单独考查函数与方程以及导数的应用的试题;解答题主要考查导数的概念及其几何意义,还有导数在研究函数中的应用,主要涉及函数的零点、不等式等相关知识。

【2017年考试大纲】

1.指数函数。

(1)了解指数函数模型的实际背景。

(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。

(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点。

(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。

2.对数函数。

(1)理解对数的概念及其运算性质,利用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。

(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点。

(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。

(4)了解指数函数与对数函数互为反函数。

3.幂函数。

(1)了解幂函数的概念。

一、基本初等函数的考查

(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=的图像,了解它们的变化情况。

【高考命题回顾】

纵观近几年各地高考试题,对基本初等函数的考查,大部分是以基本初等函数的性质为依托,结合运算推理解决问题,高考中一般以选择题或填空题的形式考查,属基本初等函数的试题,一般考查指数式、对数式的基本运算性质。

例1 (2 0 1 7年全国卷Ⅰ理1 1)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )。

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的x,y,z,通过作差或作商进行比较大小。对数运算要记住常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示。

例2 (2 0 1 6年全国卷Ⅰ理8)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )。

A.ac＜bcB.a bc＜b ac

C.al o gbc＜bl o gac D.l o gac＜l o gbc

【2 0 1 8年高考复习建议与高考命题预测】

由近几年的高考命题形式知,新课标对幂函数的要求较低,只要求掌握幂函数的概念、图像与简单性质,仅限于几个特殊的幂函数,关于幂函数常以5种幂函数为载体,考查幂函数的概念、图像与性质,多以小题形式出现,属容易题。指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位。对指数函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数进行变形处理。高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其他知识点交汇命题,则难度会加大。对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位。基本初等函数是考查函数、方程、不等式很好的载体,预测2 0 1 8年高考继续会对基本初等函数图像和性质考查。尤其要注意以基本初等函数特别是指数、对数函数为模型的抽象函数的考查,这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则,往往集定义域、值域、单调性、奇偶性于一身,全面考查同学们对函数概念和性质的理解。高考对基本初等函数的考查有三种主要形式:一是比较大小;二是基本初等函数的图像和性质;三是基本初等函数的综合应用,其中经常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的联系。

二、对导数的考查

2 0 1 7年与2 0 1 6年考纲相比没什么变化,而且这部分内容作为高考的必考内容,在2 0 1 8年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现。“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用,或以定积分的简单应用为主,难度中等;“一大”即以压轴题的形式呈现,仍会以导数的应用为主,主要考查导数、含参不等式、方程、零点个数、探索性等方面的综合应用,难度较大。

例3 (2 0 1 5年全国卷Ⅰ理1 2)设函数f(x)=ex(2x-1)-a x+a,其中a＜1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)＜0,则a的取值范围是( )。

试题分析:设g(x)=ex(2x-1),y=a x-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=a x-a的下方。因为g'(x)=ex(2x+1),所以当x＜-时,＜0,当x＞-时,g'(x)＞0。所以当x=-时,g(x)max=-,当x=0时,g(0)=-1,g(1)=3 e＞0,直线y=a x-a恒过(1,0),斜率为a,故-a＞g(0)=-1,且g(-1)=-3 e-1≥-a-a,解得≤ a＜1,

故选D。

例4 (2 0 1 7年全国卷Ⅰ理2 1)已知函数f x()=ae2x+a-2( )ex-x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围。

试题分析:(1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,所以f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2 ex+1)。

①当a≤0时,aex-1＜0,2 ex+1＞0,从而f'(x)＜0恒成立,所以f(x)在R上单调递减。

②当a＞0时,令f'(x)=0,从而aex-1=0,得x=-l na。当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表1:

表1

综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a＞0时,f(x)在(-∞,-l na)上单调递减,在(-l na,+∞)上单调递增。

(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在R上单调递减,故f(x)在R上至多一个零点,不满足条件。

由上述可知,若a＞1,则f(x)min=1-+l na=g(a)＞0,故f(x)＞0恒成立,从而f(x)无零点不满足条件。

综上,a的取值范围为(0,1)。

评注:对于已知零点个数,求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上,对于一般的赋值方法要把握两点:①限定要寻找x0的范围,如本题中分别在(-∞,-l na)及(-l na,+∞)上各寻找一个零点;②将函数不等式变形放缩,根据x0的范围得出x0。在本题中,实际上是在区间(-∞,-l na)上找到x0,使得f(x0)＞0,则说明f(x)在区间(-∞,-l na)上存在零点,在区间(-l na,+∞)上找到x0',使得f(x0')＞0,则证明f(x)在区间(-l na,+∞)上存在另一个零点。

例5 (2 0 1 6年新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(Ⅰ)求a的取值范围;

(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2＜2。

试题分析:(Ⅰ)求导,根据导函数的符号来确定(主要是根据导函数零点来分类);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的结论来证明。

试题解析:(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

(1)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点。

综上,a的取值范围为(0,+∞)。

(Ⅱ)不妨设x1＜x2,由(Ⅰ)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以x1+x2＜2等价于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。

设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,所以g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。

所以当x＞1时,g'(x)＜0,而g(1)=0,故当x＞1时,g(x)＜0。从而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

函数性质的综合应用及以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点,函数性质的重点是奇偶性、单调性及图像的应用,导数重点考查其在研究函数中的应用,注重分类讨论及化归思想的应用。

(责任编辑 刘钟华)