推本溯源 就式论式
——浙江省高考数列压轴题的解题突破

2017-11-07 05:32温州市第二十一中学浙江温州325000
中学教研(数学) 2017年10期
关键词:压轴理科浙江省

● (温州市第二十一中学,浙江 温州 325000)

2017-07-03

许光军(1968-),男,浙江温州人,中学高级教师.研究方向数学教育.

推本溯源就式论式
——浙江省高考数列压轴题的解题突破

●许光军
(温州市第二十一中学,浙江 温州 325000)

浙江省数学高考连续3年都以数列不等式的综合题作为压轴.文章剖析2017年浙江省数学高考的压轴题,推本溯源,归纳出数列不等式的解题突破——就“式”论“式”,并用“就式论式”的思路突破浙江省近几年的数列不等式压轴题,为新一轮的高三数学复习备考,提供一个启迪思维、探究解法的视角.

数列压轴题;就式论式;转化变形

数列不等式综合题是以数列知识为背景,以数列的通项、递推公式、前n项和为载体,考查数列的构造、求和、等价转化以及不等式的证明.由于题目条件结构简明,知识交汇丰富,思维跨度较大,能力辐射面广,思想方法渗透自然,具有较好的选拔功能,常常作为高考卷或模拟卷中的压轴题出现.

解答数列不等式综合题,对学生的数学思维能力和常用的数学思想方法应用要求较高,相应的题目难度也比较大.特别是近几年的浙江省数学高考压轴题,题目简明单一,条件变形灵活,学生在解答时,不知从何入手.对于大多数学生来说,更多的是用不完全归纳法做一点浅层次地解答,甚至直接放弃,非常可惜.笔者剖析浙江省近几年的数列不等式的压轴题,试图以题目结论为目标,就“式”论“式”,对题目条件进行有针对性地转化、变形,推本溯源,寻找这类数列不等式压轴题的解题突破.

1 2017年浙江省高考压轴题的“就式论式”

例1已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中x∈N*),证明:当n∈N*时,

1) 0

(2017年浙江省数学高考理科试题第22题)

要证0

1.1 第1)小题的分析

要证明00且xn+1

xn-xn+1=ln(1+xn+1).

方法1分类讨论

若xn+1=0,则xn=xn+1=0,与x1=1矛盾;

若xn+1<0,则xn-xn+1=ln(1+xn+1)<0,即xn+1>xn,从而xn+1>xn>…>x1=1,矛盾;

若xn+1>0,则xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0,即xn+1

方法2直接应用不等式

可得xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,

从而

因为x1=1,所以

又xn+1>0且xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0,故0

1.2 第2)小题的分析

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≥

1.3 第3)小题的分析

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,

从而

因为x1=1,所以

从而

于是

2 “就式论式”突破2015年和2016年的高考压轴题

下面以浙江省高考最近两年的数列不等式压轴题为例,进一步说明“就式论式”的解题突破.

(2015年浙江省数学高考理科试题第22题)

累加可得

因此

这是本题的难点所在,也是解答本题的关键.对比例1的解题过程,例2的变形更加灵活.

1)证明:|an|≥2n-1(|a1|-2);

(2016年浙江省数学高考理科试题第22题)

从而

于是

|an|≥2n-1(|a1|-2).

于是

|an|≤2.

评注累加是解决本题的关键.与例2相比,例3的条件变形没有那么多样,而是把条件的等价变形式向两个方向累加,这是凸显学生解题能力的亮点.两个小题,一正一反两个方向,方法富有哲理,给人以茅塞顿开的启迪.

3 2008年高考压轴题的再“论式”

回看2008年浙江省数学高考压轴题,如果用“就式论式”的视角来看,解题的突破口也非常自然可以找到.

1)an

2)Sn>n-2;

3)Tn<3.

(2008年浙江省数学高考理科试题第22题)

2)要证Sn>n-2,将其变形为Sn-n>-2,即证

(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)>-2.

(a1-1)+ (a2-1)+…+(an-1)=

由第1)小题可知an<1,从而

于是Sn>n-2.

从而

找到解题的突破,于是

就式论式,向目标靠近,寻求解题突破的本源.

由4年浙江省数学高考压轴题分析可知:在数列不等式的求解中,数列求和、不等式的放缩等技巧仅仅是求解过程的某个环节.高考中的数列压轴题,更加注重能力立意,全方位地考查数学思维能力,面对这类试题,重复的题海训练往往感到乏力.在解题教学中,指导学生立足题目的结论,探究题目条件等价变形的方向,就式论式,推本溯源,才是一种有效的选择.

从整个数学问题的求解来看,解题的本质,就是从题目的条件到题目结论建立起逻辑联系,平时在教学中常提的一些数学思想方法,都是达成这种联系的必要工具,学生的数学思维和数学能力,具体体现在建立这种联系的过程中.从这一点上来看,“就式论式”不仅仅是数列不等式的解题突破,也可以为新一轮高三数学复习备考中“如何启迪思维,怎样提升数学素养,探求解题本源”提供一个新的视角.

[1] 蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M].杭州:浙江大学出版社,2012.

[2] 卢明.稳中求变 体现创新——2015年浙江数学高考理科数列试题评析[J].中学教研(数学),2015(8):23-27.

[3] 许光军.如何从n=k到n=k+1[J].高中数学教与学,2008(10):3-5.

O122

A

1003-6407(2017)10-41-04

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