一些带min和max的等式和不等式的应用

2017-11-07 05:32杭州市基础教育研究室浙江杭州310003
中学教研(数学) 2017年10期
关键词:恒等式平均数等式

● (杭州市基础教育研究室,浙江 杭州 310003)

●朱成万 (杭州市第十四中学,浙江 杭州 310006)

2017-07-02

王红权(1970-),男,浙江杭州人,中学高级教师.研究方向数学教育.

一些带min和max的等式和不等式的应用

●王红权
(杭州市基础教育研究室,浙江 杭州 310003)

●朱成万
(杭州市第十四中学,浙江 杭州 310006)

近几年高考试题中常出现一些带有符号min和max的试题.题目结构千变万化,解题方法技巧性强,学生对符号“min”和“max”非常恐惧.文章梳理出与这类题目相关的6个等式和不等式,揭示这类试题的特点,透视解题方法,从而让考生深刻理解这类试题的本质,少走弯路.

绝对值不等式;绝对值恒等式;解题策略

随着课程改革的推进,高考试题也常考常新,近几年出现一些带有符号min和max的试题,题目结构千变万化,给人感觉耳目一新的同时,也让人眼花缭乱,解题方法有较强的技巧性,难以把握.学生往往通过分类讨论而陷入泥潭,从而对符号“min”和“max”产生一种恐惧心理.因此梳理这类题目的特点和解题方法很有必要,能更好地理解符号min{x,y}和max{x,y}的含义,为破解含这些符号的试题提供新的视角和技术保障.与这些问题有关的一些常见的等式和不等式,具体有如下6个:

⑤ |x|+|y|=max{|x-y|,|x+y|};

⑥ ||x|-|y||=min{|x-y|,|x+y|}.

本文约定“min”表示两者中的较小者,“max”表示两者中的较大者,即

1 不等式串min{x,y}≤(或)≤max{x,y}的应用

该不等式串的意义十分明显:两个数中较小的数不大于它们的平均数,即

且两个数中较大的数不小于它们的平均数,即

道理浅显易懂,但运用它解决具体问题却非易事,需要费一番功夫.

max{x,y}.

(1)

作为拓展不等式串的一个运用,请看例2.

例2若函数f(x)=x2+px+q的图像经过点(α,0),(β,0),且存在整数n,使得n<α<β

( )

(2014年浙江省杭州市高三第一学期教学质量检测试题第8题)

解设f(x)=(x-α)(x-β),则

f(n)·f(n+1)=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)=

其中等号不能同时取到,从而

故选B.

(2013年浙江省高中数学竞赛试题第16题)

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省数学高考理科试题第8题)

解因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab,

|a-b|2=|a|2+|b|2-2ab,

两式相加,得

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),

从而 max{|a+b|2,|a-b|2}≥

故选D.

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).

这种解法简洁灵巧,但需要解题者有较强的数学洞察力,是体现学生数学核心素养的好题.

2 平凡恒等式的应用

接下来我们看式③和④,我们称其为平凡恒等式或者平均数等式.

这是一组对偶的式子,意义十分明显,式③表示两个数中较小数等于它们的平均数减去它们绝对值之差的一半,即

式④表示两个数中较大数等于它们的平均数加上它们绝对值之差的一半,即

图1

这一点可以在数轴上直观表示出来.如图1,设点A对应实数x,点C对应实数y,点B为AC的中点,则

例5若实数x,y满足不等式组

设z=min{2x-y+4,x+y+6},则z的取值范围是

( )

A.[9,11] B.[9,12]

C.[9,13] D.[9,14]

(2017年4月浙江省稽阳联谊学校高三联考试题第7题)

解根据式③,得

z= min{2x-y+4,x+y+6}=

当x=4,y=3时,zmin=9;当x=6,y=3时,zmax=13.故选C.

例6已知f(x),g(x)都是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|.若a>0,则

( )

A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

(2017年浙江省数学高考模拟试卷第10题)

解设

F(a)=2min{f(a),g(1-a)},

F(-a)=2min{f(a),g(1+a)}.

由题意知

g(1+a)>g(1-a),

从而F(a)= 2min{f(a),g(1-a)}≤

2min{f(a),g(1+a)}=F(-a),

F(1+a)=2min{f(1+a),g(a)},

F(1-a)=2min{f(1-a),g(a)},

于是F(1+a)= 2min{f(1+a),g(a)}≥

2min{f(1-a),g(a)}=

F(1-a).

评注例5和例6都是有一定难度的题目,当时学生的得分都不高,究其原因主要是解题工具选择不恰当.如例5,大部分学生是根据线性规划来讨论的,运算相当复杂;例6学生更是无从下手.笔者运用式③,解法简单明了,使问题的难度降低了一个档次.

例7已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax2-2bx-a+b.证明:当0≤x≤1时,函数f(x)的最大值为|2a-b|+a.

(2014年浙江省数学高考理科试题第22题改编)

解f(x)max=max{f(0),f(1)}=

max{-a+b,3a-b}=

|2a-b|+a.

(2017年浙江省高中数学竞赛试题第10题)

2max{f(x),g(x)},

方程可转化为

max{f(x),g(x)}=ax+2.

设F(x)=max{f(x),g(x)},F(x)的图像如图2所示,则

由-2x=ax+2,解得

图2

由x3-x2=2(x2-x1),得

2x1=3x2,

评注例7和例8是两道难题,本文运用式④,问题得以轻松解决.可见解题工具的选择是一件很重要的事,选择不得当,简单问题会复杂化;选择得当,复杂问题就会简单化.要做到这一点,关键还是对数学的理解.

3 绝对值恒等式的应用

对于三角形不等式:

||x|-|y||≤{|x-y|或|x+y|}≤|x|+|y|.

当x,y同号时,有

||x|-|y||=|x-y|≤|x+y|=|x|+|y|;

当x,y异号时,有

||x|-|y||=|x+y|≤|x-y|=|x|+|y|.

因此有

⑤|x|+|y|=max{|x-y|,|x+y|};

⑥||x|-|y||=min{|x-y|,|x+y|}.

我们称式⑤和式⑥为绝对值恒等式,它在解决有关绝对值的题目中有着广泛的应用,下面举例说明.

根据式⑥有

因为a∈[-1,1],所以

图3

例10设函数

若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(其中l>0)对任意实数x都成立,则l的最小值为______.

(2017年浙江省杭州市高三数学第二次模拟试题第14题)

解|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|=

|(f(x)-1)+(f(x+l)-1)|+|(f(x)-1)-f(x+l)-1|=

2max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥2,

即max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥1恒成立.

评注本题运用公式⑤,将绝对值里面两个函数和转化为绝对值里只有一个函数,使问题大大简化.这种做法的最大优点在于避免了繁杂的讨论.

例11已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;

2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省数学高考理科试题第18题)

1)证明当|a|≥2时,

M(a,b)= max{|f(1)|,|f(-1)|}≥

2)解根据绝对值恒等式(式⑤)有

|a|+|b|= max{|a+b|,|a-b|}=

max{|f(1)-1|,|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|+1,|f(-1)|+1}≤

M(a,b)+1≤3.

评注本题呈现方式简洁明了,解决方法独特,解题过程简约.两个设问,分别用到了本文介绍的两组公式,第1)小题用到了大数不小于平均数这一简单的结论;第2)小题主要是用到绝对值恒等式,并用函数值来代替参数式(如a+b=f(1)-1),进而根据函数的有界性来控制参变量.

2 后记:大道至简,卸繁驭简

本文研究的6个重要等式与不等式,其意义显而易见,所谓大道至简.在解高考题中能直入问题的本质,把复杂问题简单化,所谓卸繁驭简.大道至简,卸繁驭简,揭示问题的本质,正是我们的教学追求.

[1] 王红权.含绝对值的不等式问题复习研究[J].中学教研(数学),2016(12):31-36.

[2] 朱成万.中学数学核心内容的教学解构与建构[M].北京:中国经济出版社,2015.

O122.3

A

1003-6407(2017)10-23-04

猜你喜欢
恒等式平均数等式
活跃在高考中的一个恒等式
组成等式
一个连等式与两个不等式链
极化恒等式在解题中的妙用
不一样的平均数
关注加权平均数中的“权”
平均数应用举隅
说说加权平均数
一个等式的应用
与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用