初中概念教学：根据概念的定义形式针对性地设计教学

● (宁波大学附属学校，浙江 宁波 315000)

2017-07-08

邬云德(1956-)，男，浙江奉化人，浙江省特级教师.研究方向数学教育.

初中概念教学：根据概念的定义形式针对性地设计教学

●邬云德
(宁波大学附属学校，浙江 宁波 315000)

数学概念的定义形式可分为白描、归纳和抽象这3种，根据概念的定义形式针对性地设计教学是概念教学所要遵循的基本规范．但目前有不少教师在概念教学中没有按这个规范进行操作．鉴于此，文章介绍各种定义形式的概念的特征及其对应的认知过程．

数学概念；定义形式；认知过程

数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式的本质属性的思维形式[1]．数学概念的定义形式大致可分为白描、归纳和抽象这3种．例如，画出三角形，定义“这样的图形为三角形”为白描形式；画出一些包括三角形在内的多边形，定义“由三条边构成的多边形为三角形”为归纳形式；直接给出定义“由三条线段首尾相接所组成的平面图形为三角形”为抽象形式[2].根据概念的定义形式针对性地设计教学是概念教学所要遵循的基本规范．但调研发现，目前有不少教师在概念教学中没有按这个规范进行操作．鉴于此，笔者介绍各种定义形式的概念的特征及其对应的认知过程，供读者参考、研究．

1 白描形式定义的概念的特征及其对应的认知过程

若所学概念的形式特征比较明显，能从外形上直接观察和识别，并且教学要求不高，或所学概念的本质特征比较抽象，学生还缺乏抽象其本质特征所需要的知识与经验(例如，抽象抛物线的本质特征需要高中知识)，则可选择用白描形式定义该概念．其对应的认知过程可用图1表示．

图1

案例1浙教版《数学》七年级上册第4.2节“代数式”概念的教学设计．

1)问题：利用字母表示数，能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来．怎样根据下列问题的条件列出算式？

2)操作：

①大米的单价为每千克a元，食油的单价为每千克b元．买10千克大米、2千克食油共需多少元？

②日平均气温是指一天中2：00,8：00,14:00,20:00这4个时刻气温的平均值．若上述4个时刻气温的摄氏度数分别是a,b,c,d,则日平均气温的摄氏度数是多少？

图2

③一个五彩花圃的形状如图2所示，花圃的面积是多少？

3)观察：上面我们所得到的算式和以前学过的算式有什么区别？

5)解释：这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方．单独一个数或者一个字母也称代数式．

6)应用：请解答下列问题．

问题1怎样用代数式表示下列数量关系？

①x的3倍与3的差;

③a与b的和的平方;

④ 2a的立方根;

⑤v1,v2的和除s所得的商;

⑥x与1的差的平方根．

问题2已知甲数比乙数的2倍少1．设乙数为x，则怎样用x的代数式来表示甲数？

问题3一辆汽车以80 km/h的速度行驶，从城A到城B需th．如果该车的行驶速度增加vkm/h，那么从城A到城B需多少时间？

问题4能举一个用代数式3a+2b表示结果的实际问题的例子吗？

7)反思：你在学习过程中对代数式有何感触？你认为还应该继续研究什么？

说明用白描形式定义概念其对应的学习方式是概念形成的方式，只不过其形式特征比较明显，略去了归纳抽象的过程．用白描形式定义概念对概念的本质揭示不够，弥补这个缺陷有两种处理方法：一是在以白描的方式给出概念后，再对概念的数学本质作进一步的分析说明；二是像代数式的定义一样，采用“白描+说明”的定义形式．教材中许多概念是用“白描+说明”的形式定义的．白描形式定义的概念其教学侧重点应放在“操作”和“应用”上，使学生明确概念从哪里来和往何处去．

2 归纳形式定义的概念的特征及其对应的认知过程

若所学概念的本质特征比较抽象，但学生有抽象其本质特征所需要的知识与经验，并想让学生在概念学习过程中有更多的收获，经历更多的数学思考过程，则可选择用归纳形式定义该概念．其对应的认知过程可用图3表示．

图3

案例2浙教版《数学》八年级下册第2.1节“一元二次方程”概念的教学设计．

1)问题：我们知道，一元一次方程、二元一次方程(组)都是刻画现实世界数量相等关系问题的有效模型．一元一次方程、二元一次方程(组)够用了吗？

2)操作：请大家根据下列问题中的条件列出方程．

图4

①把面积为4 m2的一张纸分割成如图4所示的正方形和长方形两个部分，则正方形的边长是多少？

若设正方形的边长为xm,则x应满足怎样的方程？

②象山特产“高唐西瓜”进入了收获期．据调查2015年收购价是3元/斤，2017年收购价是4元/斤．问：单价平均每年上升的百分率是多少？

若设单价平均每年上升的百分率为x，则x应满足怎样的方程？

图5

若设B端将沿CB方向移动xm，则x应满足怎样的方程？

3)观察：方程“x2+3x=4”与一元一次方程或二元一次方程相比有何差异？

5)表达：一般地，方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫做一元二次方程．能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)．由于任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(其中a,b,c是已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．

6)应用：请解答下列问题．

问题1下列方程哪些是一元二次方程？

① 10x2=9；

② 2(x-1)=3x；

③ 2x2-3x-1=0；

⑤ 2xy-7=0；

⑥ 9x2=5-4x；

⑦ 4x2=5x；

⑧ 3t2+4=5t．

问题2表1中的空格处应填什么？

表1 一元二次方程

6)反思：在ax2+bx+c=0(其中a,b,c是已知数，且a≠0)中，为何要规定a≠0？为何不规定b和c也必须不为0？求二次项系数、一次项系数和常数项要经历哪几个步骤？你对一元二次方程有何感触？

说明用归纳形式定义概念其对应的学习方式是概念形成的方式.由于其形式特征不太明显，因此要经历操作、观察、归纳、抽象、表达等完整的认知过程．它是一种带有较多发现性的学习方式，对发展学生的智力、能力和个性有积极影响．教材中大多数概念是用归纳方式定义的，旨在全面发挥数学概念的育人功能．归纳方式定义的概念其教学侧重点应放在“操作观察”“归纳抽象”上，以发展学生观察、归纳、抽象的能力，积累多角度观察事物特征的经验，体会概念从哪里来等．

3 抽象形式定义的概念的特征及其对应的认知过程

根据奥苏贝尔的概念获得过程理论，数学概念的来源：一是来自于生活实例的数学抽象；二是数学自身逻辑的产物．若所学概念是数学自身逻辑的产物，特别是所学概念是已知概念的特殊情况，则可选择用抽象形式定义该概念．其对应的认知过程可用图6表示．

图6

案例3浙教版《数学》八年级下册第5.1节“矩形”概念的教学设计．

浙教版教材对矩形是这样定义的：我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．它属于抽象的定义形式．根据图6可将其教学过程设计如下.

1)问题：在数学中，当研究对象有多种情况时，经常要通过考察对象的特殊情况来加深对该对象的认识．平行四边形的形状、大小是千变万化的(教师借助平行四边形模型进行演示)，因此要通过考察平行四边形的特殊情况来加深对平行四边形的认识．平行四边形有哪些情况比较特殊？

2)定义：我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

3)分析：矩形的本质特征是什么？矩形与平行四边形、线段、直角三角形和生活中的矩形分别是怎样的关系？

4)辨认：小学里学过的长方形和正方形是不是矩形？小学里学过的梯形呢？

5)强化：能举几个矩形的生活实例吗？生活中为何经常采用矩形的结构？

6)反思：矩形是怎样产生的？还可以怎样产生？矩形有何用处？你对矩形有何感触？

说明用抽象形式定义概念其对应的学习方式是概念同化的方式.它是一种带有较多接受性的学习方式，其优点是教学效率高——通过演绎直接获得概念；其缺点是抽象——它不是来源于现实，而是数学自身逻辑的产物．弥补其缺点的处理方法是：在以抽象的方式给出概念后，再对概念作进一步的分析与强化，以使学生明确概念的数学本质，理解概念与相关概念之间的关系，丰富概念的生活实例．教材对一些特殊图形大多是用“抽象”方式定义的，旨在揭示概念之间的逻辑关系．抽象方式定义的概念其教学侧重点应放在“分析”和“强化”上，以使学生把所学概念纳入到相应的概念体系之中．不像试卷中的新定义概念，课堂教学中直接给出定义总有“天上掉下林妹妹”的感觉，为使思维过渡自然，像用白描形式定义的概念教学一样，可以在给出定义之前，有一个简单的导入或操作过程．

在中小学数学中，有许多概念既可以用白描形式定义，也可以用归纳形式定义，还可以用抽象形式定义，并且有些概念不同学段其定义形式也不同．选择哪种定义形式主要取决于学生已有的知识与经验和教师对学习目标的定位(年轻教师可以参考教材使用的定义形式).若学生有归纳抽象概念本质特征所需要的知识与经验，并想全面发挥其育人功能，则可选择用归纳形式定义概念并针对性地设计教学．尽管根据概念的定义形式针对性地设计教学是有效概念教学的重要标志，但还要发挥教师的主导作用(根据概念的特征和学生的实际情况确定合适的教学目标，通过选择合适的问题来引发学生积极思考，通过适度的价值引导来促进学生的思维等)，要留给学生足够的自主思考与实践的时间和合作交流的机会，要合理评价学生在数学活动过程中的表现．按归纳形式定义概念并针对性地进行教学，有时会给按时完成教学任务带来挑战．解决这个问题的策略是运用课内外结合的方法——课前预习教师设计的具有“问题+指导”“阅读+思考”“探究+反思”的导学案[3]．

[1] 罗增儒．数学概念的教学认识[J]．中学数学教学参考:中旬，2016(3)：1-4．

[2] 史宁中．数学教育的未来发展[J].数学教学,2014(1):1-3.

[3] 邬云德．例谈“先行组织者”教学方式及其成效[J]．中学教研(数学)，2012(11)：9-12．

O122

A

1003-6407(2017)10-01-04