渗透数学思想方法提高初中数学学习效率

沙琼

[摘 要]初中数学中常用的数学思想方法有：数形结合的思想方法、化归思想方法、分类思想方法、函数思想方法、方程思想方法等。只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，为解决数学问题。

[关键词]初中数学；思想方法；解决问题；学习效率

近几年来数学中考对数学思想的重视，所以在教学中《数学课程標准》在初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，为解决数学问题、数学思维起到很好的促进作用。

一、渗透化归思想，提高学生解决问题的能力

“化归”是指把要解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。化归思想在本教材的数学教学中是贯穿始终的。

比较典型的体现在在教材《有理数的减法》、《有理数的除法》这两节内容中，在学习过有理数的加法和有理数的乘法后，通过 “议一议”形式使学生在自主探究和合作交流的过程中，让学生经历把有理数的减法、除法转化为加法、乘法的过程，体验、转化的思想方法。“除法可以转化为乘法”、“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。这在主观上帮助了学生在探索时进行转化的过程，而在学生体会到成功后客观上就渗透了学生化归的思想。再如图形题中研究四边形时，我们把四边形转化为三角形来解决。解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。

二、渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。在教材《有理数》这一节中用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，结合数轴表示有理数很直观，能帮助学生较好地理解有理数的绝对值、相反数等概念，以及进行两个有理数的大小比较。

三、渗透分类讨论的思想方法，培养学生观察能力、灵活解决问题的能力。

在渗透分类讨论思想的过程中，首先要能培养学生分类的意识，然后才能在其基础上进行讨论。在我们所学教材中不难发现，在《有理数》这一节研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在研究平面图形中在渗透分类讨论思想的时候，用的非常多。如在研究《三角形》时把三角形按边来分和按角来分，分别把三角形分为等腰三角形和斜三角形；锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，这样分就能做到三角形不重不漏。在《圆》这一节中数学分类思想渗透的就更多，如：点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系都用到分类的数学思想。再如：讲解二次函数时我们把二次函数分为 y=ax2 ， y=ax2 + C y=a（x﹣h）2，y=a（x﹣h）2+k， y=ax2+bx+c来研究。并且都从开口方向，顶点坐标，对称轴和图形的性质来研究。通过对这些问题的解决渗透着分类讨论的思想。能让学生学会从多角度、多方面去分析，培养学生思维的严密性、全面性。

四、渗透方程思想，培养学生数学建模能力。

方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。它是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。有时，还实现函数与方程的互相转化。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题运用方程思想求解的题目在中考试题中随处可见。同时，方程思想也是我们求解有关图形中的线段、角的大小的重要方法。

例如：一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为，那么袋中的黑球有 4 个.

【分析】首先设袋中的黑球有x个，根据题意得：=，解此分式方程即可求得答案.

【解答】解：设袋中的黑球有x个，

根据题意得：=，

解得：x=4，

经检验：x=4是原分式方程的解.

即袋中的黑球有4个.

故答案为：4.

经典例题（山西省中考试题）已知：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AC于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积.

解法 ： 如图，在矩形ABCD中，

∵ AD∥BC，∴ ∠2=∠3.

当矩形ABCD沿着直线BD折叠后，△BC′D与△BCD关于直线BD对称，

∴ ∠1=∠2，故∠2=∠3.

∴ △BED是等腰三角形，

BE=ED

作EF⊥BD于F，则BF=BD=2.设BE=x，

∵ BE=ED，∴ AE=8-x，

在Rt△ABE中，42+（8-x）2=x2，解之，得x=5，

在Rt△BEF中，x2=EF2+（2）2

∴ EF= ，∴ S△BDE=BD·EF=10.

点评：本题中的解法二就是用方程解决，思路清晰，直接，容易解决。

五、函数思想

函数思想是建立函数关系，运用变化的观点把数量关系表示出来，运用函数的图像及性质去解决问题。 例如.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件.若使利润最大，每件的售价应为 25 元.【分析】二次函数的应用本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.

【解答】解：设最大利润为w元，

则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，

∵20≤x≤30，

∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25.

本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.有时函数与方程思想又是相互转化的。

数学思想方法是数学的灵魂。日本著名数学教育家米山国藏，他深深感到，“许多在学校学的数学知识，如果毕业后没有什么机会去用的话，时间不久就忘掉了，然而，数学思想方法学好了，在数学思想方法的指导下解决数学问题，就比较容易。使他们终身受益” 运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程。 学生领会了数学思想方法，能有效地应用知识，形成能力对数学思维起到很好的促进作用。endprint