慢工出细活,磨刀不误砍柴工—对函数概念教学的反思

湖南省长沙市周南中学(410008) 肖正生

慢工出细活,磨刀不误砍柴工—对函数概念教学的反思

湖南省长沙市周南中学(410008) 肖正生

函数是学生进入高中数学学习的第二个抽象的概念,是贯穿于整个高中数学的一条主线,它与数列、不等式、向量、三角、解析几何、导数等很多知识都可以联系起来,在高考当中占有很高的地位,所以是高中数学中一个非常重要的内容,在教学当中,决不可轻描淡写.经过多年的高三教学发现,学生对函数这个概念掌握得并不理想,甚至还有的同学可以说根本没有掌握,从而使很多相关问题学起来困难,理解不够透彻,导致失分,所以有必要引起我们重视.

在高一函数概念的教学当中,由于定义中文字较长,数学术语较多,导致很多学生对函数的概念的理解很困难,只好囫囵吞枣,死记硬背,并没有真正掌握,这样就导致后面学习函数的相关内容吃力,如求函数的定义域(尤其是抽象函数)、求值域、求解析式、判别式法求值域等等,认为数学太抽象,太难学,甚至有的学生开始对数学失去了信心.所以,教会学生理解函数的概念,对他们今后继续学习数学以及提高对数学学习的兴趣显得尤为重要.

1.对函数概念的理解

函数的概念,人教版A版(2015年5月)教材中是这样定义的:一般地,我们有:设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),x∈A,其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range),显然,值域是集合B的子集.

定义较长,也很抽象,对于函数这个概念的讲解,本人认为可以采取学生自学,教师提问并举例说明的方式进行教学效果较好,要求学生反复阅读(先粗再细)教材所给出的定义,而后再提出疑问,老师加以引导和提升.先粗读:函数是一种对应关系,再细读:是什么样的对应关系?是两个数集中“数”到“数”的对应关系,这钟对应关系具体有什么要求?第一,两个集合必须是数集,两个数集可以相同;第二,两个数集不能为空集;第三,对于数集A中的每一个数(元素)通过这个对应关系f(也就是变化规律)后,在数集B中有且只有一个数与之对应.那自变量x又是什么?能不能换成其他字母,如t或是2x,x2之类的?自变量x实际上只是代替集合A中任意数的一个单一的字符(字母代替数),当然可以换成其他字母,如t,但是不能换成2s,x2等含有有运算的式子,否则就会是对集合A中的数先进行乘以2(2s)或是平方(x2)的变化之后,再按照f的变化规律变化,这就导致对应法则发生了改变,不再是“f”了,而是经过了两次变化(x先乘以2再按f变化或是x先平方再按f变化),变成了一个新的函数,教师可以举例说明,同理,字母y也只是代替函数值的一个符号而已.那什么又是函数值呢?函数值本质上就是集合A中的数按照所给的变化规律“”变化之后得到的一个数,那“定义域”是什么,“值域”是什么,为什么说值域是集合B的子集?“对应关系”又是什么?定义域指的是自变量的所有允许取值构成的集合,值域是所有函数值的集合,定义中并没有要求数集B中的元素都必须在数集A中有元素与之对应,所以数集B中可以有多余的元素,从而值域是数集B的子集.“对应关系”也就是变化规律,通常用“f”表示,指的是集合A中的数经过怎样的变化规律后成了集合B中的数,如函数f(x)=2x2+1中的“f”的含义是:把数x先平方,再乘以2,最后再加上1,函数的定义域、值域、对应关系称为函数的“三要素”,它们是一个不可分割的整体,学生不明白为什么叫三要素,怎么就不可以分割了,老师可以解释一下,假设在一个函数中没有对应关系“f”,那么就不能知道集合A中的数是经过怎样的变化规律变到了集合B中的数,假如没有定义域A,那么就不知道是哪里的数经过对应关系f后得到了集合B中的数,假如去掉值域,那么集合A中的数经过f变化后就不知道变到哪里去了,所以这三者缺一不可,故而称之为函数的三要素.当两个函数的三要素相同时,我们就称这两个函数相同.

2.应用举例

函数概念中有三要素:定义域、值域和对应关系,相应的就有求定义域、求值域、求解析式和判断两个函数是否相等题型.

例1 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 ( )

分析选D.由函数的定义可以判断A项的定义域为{x|0≤x≤1},B项的定义域为{x|0＜x≤2}均与题意不符,而C项不符合函数定义.

例2下列各组函数是相等函数的有____(将正确的序号都填上).

分析①中两函数定义域相同,对应关系不同,分别为中两函数定义域不同,分别为R,[0,+∞);③、④中两函数定义域、对应关系都相同.

答案③④.

例3 已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为 ( )

图2

x 1 2 3 f(x)2 3 0

A.3 B.2 C.1 D.0

分析选B.由y=g(x)的图象与y=f(x)的对应关系表可知g(2)=1,f(1)=2,所以f(g(2))=f(1)=2.

例4设函数则f(x)的定义域为___,值域为___.

分析函数定义域为自变量的所有允许取值,故定义域为R,值域为所有函数值构成的,作图或者配方可知值域为(−∞,0)∪[1,+∞).

例5 已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(x2)的定义域.

分析因为函数y=f(2x+1)的定义域为y=f(2x+1),所以1≤x≤2,(注:自变量是单字符x而非2x+1),从而3≤2x+1≤5,故3≤x2≤5,(注:相同对应关系具有相同的范围要求),所以故函数y=f(x2)的定义域为

例6求函数的值域.

分析本题可用判别式法求函数值域将上述等式变形为yx2−2x+3y=0(∗),易知函数的定义域为R从方程的角度看,(∗)式可看做是以字母x为未知数,字母y看作常数的方程,根据函数的定义,函数是非空数集到非空数集的对应关系,所以对于函数定义域内的每一个x的值等式都会成立,从而关于x的方程(∗)在函数定义域内总有解.

(1)当y=0时,则存在x=0,使得方程(∗)成立;

(2)当y̸=0时,关于x的方程(∗)在R内恒有解,所以∆≥0成立.解得

例7 已知函数f(x)满足:f(x+1)=x2+1,则f(x2)=____.

分析解决此题的关键要把握两点,1、同一对应法则应遵循相同的变化规律,2、相同对应法则下的作用对象范围相同,故本题可用换元法和凑配法解答.

解答(略).

答案f(x2)=x4−2x2+2,x∈R.