课例:一次函数的图象(第1课时)—正比例函数的图象

广东省佛山市华英学校(528000) 黎春玉

课例:一次函数的图象(第1课时)—正比例函数的图象

广东省佛山市华英学校(528000) 黎春玉

1 内容及解析

“一次函数的图象”(北师大版《义务教育教科书数学》八年级上册第四章第3节)第1课时正比例函数的图象,“正比例函数的图象”是第一次对函数的性质进行研究,其内容不仅仅介绍正比例函数的图象及其性质,更重要的是为研究函数提供了通法和重要的思想方法,借助函数图象的特征探索函数性质,这种数学思想方法就是“几何直观”的一种表现形式,是“数学结合”思想的具体应用;本节课介绍了画函数图象的一般思路与方法:列表——描点——连线,为画更一般的一次函数、二次函数、反比例函数等函数图象提供了画图的思路和方法;并进一步借助函数图象的特征探索函数的性质.

2 教学目标及重点、难点分析

2.1 教学目标

(1)经历正比例函数的画图过程,初步了解画函数图象的一般步骤;

(2)经历正比例函数图象性质的探索过程,发展数形结合的意识和能力.

2.2 重点难点分析

重点 画正比例函数的图象,并能根据图象读取其性质

教学重点的分析和理解《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出“学生掌握数学知识,不能依赖死记硬背,而应以理解为基础,并使得在应用中不断巩固和深化.”所以本节课的重点要引导学生经历每个知识的生成过程,而不是强化画图的训练和性质的记忆.所以本节课重点是探究如何把关系式转化为图象,观察图象并结合关系式探究图象的性质.

难点理解函数图象的概念,领悟图象的本质(数形结合)

教学难点的分析和理解 数学知识是数学思想与方法的载体,只有扎实的知识才有可能形成解决问题和操作规则或模式,才能培养化繁为简、化隐为显、化难为易、化一般为特殊、化抽象为具体的数学思维.本节课难点是理解函数图象的概念,这是数形结合的“结”,这一“结”是从抽象思维到形象思维的过渡,所以打开这一“结”是本节课教学的难点.

2.3 教学问题诊断分析

问题1 如何画正比例函数的图象?它有什么特征?

问题2 正比例函数的图象怎样直观地体现变量之间的关系?

3 教学过程设计

3.1 复习提问

前面我们已经学习了函数的哪些知识?

(1)函数的定义;(2)函数的表示方法;(3)一次函数与正比例函数的定义.

设计意图通过复习已学的函数知识,让学生进一步理解知识发生、发展的过程,从而更有效地形成知识链和知识体系.

3.2 新课导入

正比例函数与一次函数的定义用了函数的哪种表示方法?学生很清晰地回答:关系式法;若要更直观地研究正比例函数与一次函数,应选择哪种函数的表示方法?我们一起来学习一次函数图象,一般地,我们研究数学的问题是从特殊到一般,今天先研究较为简单的正比例函数的图象,首先要理解什么是函数图象?

3.3 通过观察摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的函数关系的图象的生成过程,引导学生分析抽象概括出函数图象的定义

让学生观察图象生成的过程,动画演示随着“描点”的数量的逐步增加到点动成线,直观地显示函数图象的形成过程:

图1

问题1:你能说出函数图象是怎样形成?

学生回答:函数图象是由无数个点形成,点动成线形成的;

教师引导:这无数个点在平面直角坐标系与谁对应?学生回答:有序实数对;教师追问:这些有序实数对的横坐标表示函数的哪个变量?纵坐标?学生回答:分别是自变量和因变量.

问题2:你能给函数图象下个定义?

学生思考后回答:把函数的一组自变量的值和函数值看作点的坐标,然后把点描到平面直角坐标系,点动成线所形成的图象叫做函数图象.

师生活动:翻开书本P83页共同解读函数图象的定义;进一步把函数的定义转化为如下的直观程序:

设计意图函数图象的本质是平面直角坐标系内满足一定关系的点集合,将一个函数关系中的两个变量对应到平面直角坐标系内的两个坐标的维度,本身就存在数形结合转换的难度,通过函数图象的生成过程,化抽象为直观,让学生更好地理解函数图象的概念的本质,从而有效地突破难点.

3.4 从函数图象的定义出发,类比图象的获得过程,借助关系式、列表,转化为坐标,经历在平面直角坐标系内列表、描点、连线等步骤画出正比例函数y=2x的图象

根据函数图象的定义,你能画出正比例函数的图象?例如你能画出正比例函数y=2x的图象?教师板书师生交流进一步完善画图的程序:

引导学生归纳画图象的步骤是:列表、描点、连线,并根据步骤尝试画出正比例函数y=2x的图象后,教师边讲评,边展示课本例1的规范解答,这一过程引导学生思考和尝试解决如下的问题:

(1)列表先确定哪个变量的值?如何确定?能穷尽所有的值吗?

学生回答:先确定自变量的值;因为自变量既可以取正数,也可以取负数,还可以取0;因为不能穷尽所有的值,应选择有一定的代表和好算的数.

(2)连线,连什么线(直的还是曲的)?为什么?

学生回答:连直线;但理由学生说不清,此时老师提示类比摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的函数关系的图象的生成过程,让学生在平面直角坐标系中在原有点的基础上,在点与点之间及已有点外描更多的点,让学生观察分析点的分布,从而归纳出正比例函数y=2x的图象是一条直线,所以要连成直线.

设计意图当学生明晰了由关系式到图象的基本步骤后,可以让学生自主作图,由于这是第一次正式研究函数图象,学生难免出现画函数图象的困惑,此时通过教师的提问和点拨,让学生明晰知识生成的每一步数理,逐步建立较强的逻辑思维能力,通过规范性的演示,让学生逐步养成规范的习惯.

3.5 P83做一做:学生自主做一做,让学生类比正比例函数y=2x的图象的画图过程画出y=−3x的图象

设计意图让学生获得更多的画图体验,同时也为后续归纳正比例函数图象的共性提供材料.

3.6 P84议一议

(1)满足关系式y=−3x的x,y所对应的点(x,y)都在y=−3x的图象上吗?

(2)y=−3x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=−3x吗?

此处的设计先让每个学生各自任取满足关系式y=−3x的x,y所对应的点(x,y)描点看是否在在y=−3x的图象;任选y=−3x的图象上的点(x,y)看是否都满足关系式y=−3x.再合作交流,引导得出下列结论:

满足关系式的每一组x,y值函数图像上每一个点(x,y)

设计意图通过例1和做一做,得出了正比例函数图象的直观形象,正比例函数图象是一条直线,但理性的认识不够,针对学生现在阶段的认知水平,通过议一议的(1)(2)两问,以已画的函数图象为例,理解和建立正比例函数关系式与图象的对应关系,为后续内容的学习打下基础,进一步培养学生数形结合的意识和能力.

3.7 引导学生归纳出正比例函数图象,并进一步优化画图方法

观察y=2x与y=−3x的图象,

提问:推广到一般正比例函数y=kx的图象是什么?

学生回答:正比例函数y=kx的图象是一条直线;

追问:一定会过哪个点?为什么?

学生回答:过原点,因为当x=0时,关系式y=kx中的函数值y=0.

继续追问:正比例函数的图象既然是一条直线,那么如何更快地画出正比例函数的图象?课件展示优化后的规范画图:

图2

设计意图明晰正比例函数图象的特征,并根据特征给出的简便画法.

3.8 P84做一做:在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x,y=−0.5x的图象

设计意图要求学生在同一直角坐标系内画出若干个正比例函数图象,目的是让学生熟练画图的技能,同时也为议一议、想一想提供讨论的素材,为讨论k对函数图象的性质的影响做好准备.

3.9 议一议:观察正比例函数y=2x,y=−3x,y=x,y=−0.5x的图象,你发现了什么?

引导学生思考如下问题:

(1)图象的位置是如何确定的?为什么?(从数的角度来解释形)

(2)随着x值的增大,y的值分别如何变化?为什么?(从变化趋势看图象)

此处学生较难理解如何根据图象看变化,教师以y=2x为例逐步引导从文字“随着x值的增大”到从左到右地看图象,图象呈上升趋势,说明图象上点的纵坐标在增大,所以对应的函数值也在变大,逐步渗透数形结合的思想.再让学生独立分析y=−3x,y=−0.5x的图象性质.

图3

(3)图象y=x与y=2x有何不同?y=−0.5x与y=−3x?(从变化幅度看图象)

结论1 当k＞0时,图象经过一、三象限,y的值随着x值的增大而增大;当k＜0时,图象经过二、四象限,y的值随着x值的增大而减小.

结论2|k|越大,直线越陡,y随x的增减得越快.

设计意图通过看图象、谈位置、想性质等活动,引导学生归纳概括出正比例函数的增减性与比例系数k的关系,在性质的探究过程中,以“形”表示“数”,以“数”解释“形”的思想得到应用,函数图象与关系式实现了贯通,有效地积累基本活动的经验,不断发展、优化学生的思维,提供了感悟其蕴含的数学数学方法(数学结合、分类讨论,从特殊到一般)和积极主动观察、全面归纳,学以致用等数学认知的机会.

3.10 小结 感悟与提升

(1)本节课我们是如何画出正比例函数图象的?图？

(2)我们是从哪些方面来研究正比例函数的图象的?

(3)利用所学的知识你能直接说出函数y=−2x的图象及其性质?

(4)类似地,你能进一步探索一次函数y=−2x+1的图象及其性质?

设计意图让学生回顾课堂的学习过程,从知识、思想、方法等角度总结自己的收获,提升对正比例函数性质的认识,体会研究函数的一般方法,体会类比、迁移、从特殊到一般的数学方法.

3.11 作业:P85习题4.3第2、4题,思考第5题

4 教学反思

本节课是我校“教学三年一盘棋”开展的数学研讨课,主要针对初二阶段一盘棋的其中一项目标:提升学生的思维能力,而培养和提升数学能力的有效途径是学生独立解决问题的过程,含数学表达能力、归纳推理能力,空间观念等发展机会.本节课以知识为载体,为学生提供独立思考和合作交流的机会,让学生自主完成新知识的构建,通过渗透类比迁移、数形结合、从特殊到一般等数学思想和方法来促进学生的数学能力的发展.在教学过程中关注了以下问题:

一是函数图象的概念理解.这一概念对于学生来说相当抽象,在认识上有一定的困难,为突破这一难点,通过演示上一节课摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的函数关系的图象的生成过程,直观地表达函数图象的概念,化抽象为直观,并进一步程引导学生把函数图象的概念程序化,加深学生领会函数图象的概念本质,从而有效力地突破难点.这一难点的突破为学生提供生动有趣的问题情境,提供观察、操作、交流、归纳等数学活动,在活动中加深对数学知识的理解,发展学生的数学思维;在引入这一新知识时,既注重了与学生生活实际的联系,又注重新旧知识的联系,在新旧知识的比较与联系中,促进学生新的认知结构的建立与完善.

二是关于正比例函数图象是一条直线的理解.要理性地认识图象是一条直线,笔者认为现阶段的学生认知水平还不能达到,因此本节课先从感性认识开始,在画正比例函数y=2x图象的最后一步:连线时,先类比摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的函数关系的图象的生成过程,让学生在平面直角坐标系中原有点的基础上,在点与点之间及已有点外描更多的点,让学生观察分析点的分布,从而归纳出正比例函数y=2x的图象是一条直线;再通过做一做画出正比例函数y=−3x的图象,进一步深化正比例函数图象是一条直线的认识,希望能从动手画图的感性认识提升到理性认识水平.同时,这一过程也渗透了函数图象与关系式之间的一一对应关系,进一步体会数形结合的思想.

三是探究正比例函数图象的性质.P84议一议观察已画的4个函数图象,随着x的增大,y的值分别如何变化?这一问题无疑对学生来说是比较抽象的,如何引导学生从图象上读取y随x的变化而变化呢?为解决这一问题,作了以下的问题设计:①“数”中随着x的增大,在“形”中如何对应?②“数”中的y的变化,在“形”中如何对应?通过问题的设计结合图象,进一步发展学生数形结合的意识.