立足教材夯基础 借题发挥促发展

广东省东莞市长安实验中学数学教研组(523846) 郑健微

立足教材夯基础 借题发挥促发展

广东省东莞市长安实验中学数学教研组(523846) 郑健微

1 问题提出

多媒体网络教学给我们的教育手段、教育方式带来了全新而又深刻的革命,在很多方面是传统的教学手段无法比拟的.但是,无论科学技术再发达,教材,尤其是教科书,作为数学课堂的重要载体,它所能发挥的作用依旧是很多网络资源所无法取代的.但有部分老师往往为了照着网络课件思路走而忽略了课本上一些对学生的思维具有训练性的习题,或者为了完成教学任务而评讲习题,没有充分发掘教材题目的价值,致使学生数学思维没有得到很好发展.

2 借助教材趣题,促进学生发展

知识是静态的,思维是活动的,课本的习题是经过精心筛选的,它是固定的,但是它的变化又是无穷的.教师在备课时应在对教材合理的挖掘中,寻找促进学生发展的有趣题目,深入研究课本的典型习题,挖掘其潜在的价值,进行一题多变或一题多解,优化知识结构,使教材中的静态知识操作化、活动化,在夯实学生基础同时,也促进学生发散思维的发展.

2.1 立足课本问题,一题多变促发展

课本的例题和习题都是经过专家学者精心挑选,反复斟酌后确定下来的,它具有深刻的数学背景和典型的代表性,教师在对教材进行合理的挖掘的过程中要寻找一些突破口,从学生的实际出发,活用教材,使教材中的静态知识动态化,激发学生的求知欲望,促进学生从多层面、多角度去认识、研究问题.

案例1 如图1,利用一面墙(墙的长度不限),用20长的篱笆,怎样围成一个面积为50的矩形场地?(本题来自人教版九年级数学上册P25第八题)

图1

解法一设垂直于墙的一边长为xm.

第一步,审题,弄清题意.找出等量关系;本题中已知条件:用20 m长的篱笆围成一个面积为50 m2的矩形场地,隐含条件:矩形场地一面靠墙,篱笆只需围三边.

第二步,设未知数.用表示所求的数量或有关的未知量;要问如何围成面积为50 m2的矩形场地,而我们已知矩形的面积公式为长乘以宽,在本题中,矩形场地长和宽都不知道,因此根据题意我们可以设垂直于墙的一边长为xm,则与墙平行的一边长为(20−2x)m;

第三步,根据题中等量关系,列出一元二次方程:x(20−x)=50;

第四步,解方程,求出未知数的值;x=5;

第五步,检查结果是否符合题意并写出答语.

解法二设与墙平行的一边长为xm,则垂直于墙的一边长为根据题中等量关系,列出一元二次方程:

一般在数学教学中,教师会给出上述两种解法.如果静止地、孤立地去解答一道道课本习题,我们仅仅是完成了教学任务,但数学的解题不应该仅仅停留在习题的解答上,我们应该对习题进行深度挖掘,激发学生的学习兴趣,对此,我进行了以下几种变式.

变式一增加围栏,改变图形,使围成的矩形场地有较多的用途

图2

图3

变式题1 利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长的篱笆围成一个矩形场地,设与墙垂直的一边长为xm;

图2所示的矩形场地中,与墙平行的一边长为

图3所示的矩形场地中,与墙平行的一边长为

师:通过上述三道题,你能否用一个简洁的话式子,概括“与墙垂直的总边长”“与墙平行的边长”和“总篱笆长”三者之间的关系.

生:与墙平行的边长=与墙平行的边长−与墙垂直的总边长

变式题2在与墙平行的一边设置门

要用篱笆围成矩形场地,其中一面利用墙(墙的长度不限),其它边用篱笆围成,已知现有20长的篱笆,要围成一个矩形场地,设该矩形场地与墙垂直的一边为xm,

图4

图5

(1)若在如图4所示的地方开1 m宽的门,则与墙平行的一边长____

(2)若在如图5所示的两处开1 m宽的门,则与墙平行的一边长___

师:从上面这两个式子,你能否仿照第一个变式,用文字语言描述与墙平行的边长为多少?

生:与墙平行的边长=与墙平行的边长−与墙垂直的总边长+总门宽

变式题3在与墙垂直的一边设置门

要用篱笆围成矩形场地,其中一面利用墙(墙的长度不限),其它用篱笆围成,已知现有20 m长的篱笆,要围成一个矩形场地,设该矩形场地与墙垂直的一边为xm,

图6

图7

(1)若在如图6所示的地方开1 m宽的门,则与墙平行的一边长

(2)若在如图7所示的两处开1 m宽的门,则与墙平行的一边长

师:从上面这两个式子,你能得出什么规律?

生:与墙平行的边长=与墙平行的边长-与墙垂直的总边长+总门宽

师:从变式2和变式3,你发现了什么?

生:无论门设置在与墙垂直的一边,还是与墙平行的一边,只要知道与墙垂直的篱笆段数和门的总宽度,就可以列出“与墙平行的一边”的表达式.

变式题4在与墙垂直和与墙平行的的栅栏边都设置门

某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长)中间用一道墙隔开,并在如图8所示的三处各留1m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则设与已有墙垂

图8

直的一边为xm,则与已有墙平行的一边为___.

变式题5 上面的变式都是不限制墙长,如果限制了墙长,对题目是否有影响?为此,我设置下列变式.

如图9,,要用防护网围成长方形花坛,其中一面利用现有的一段墙,且在与墙平行的一边开2 m宽的门,现有防护网的长度为91 m,花坛的面积需要1080 m2,若墙长为50 m,求花坛的长和宽?

图9

(1)若墙长46 m,求花坛的长和宽.

(2)若墙长40 m,求花坛的长和宽.

(3)通过上面三题的讨论,你觉得墙长对题目有何影响?

在本节课教学过程中,如果教师仅仅为完成教学任务而讲解习题,没有深挖题目的条件,设置一系列的变式题给学生以充分的时间和空间去交流、实践探索,那么学生对此类习题仅仅是个别题目的“会解”,上升不到掌握这一类题“解题策略”,也凸显不了学生的主体地位.本节课教师通过不断变化题目的条件,图形,培养学生随机应变的能力,通过以填空形式设问,制造小台阶,并从多个适当点拨学生如何用简洁的文字语言来概括本节课的规律,总结出解题的通法,使得此类题型在学生脑海里印象深刻,达到题目类化的目的,提高了学生逻辑思维能力,分析问题、解决问题的能力.正如数学教育家柏利亚曾说过得:“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生挖掘题目的各个方面,在知道学生解题过程中,提高他们的才智和推理能力”.

2.2 渗透解题技巧,一题多用促发展

教学中,教师应对学生“授之以渔”,才能让学生从茫茫题海中走出来.教学中,教师可以从教材某一道例题或习题出发,教会学生解决与该习题或例题相类似的某一类题的解题策略.例如,在几何教学中,我们会遇到许多基本图形,如果在教学中,我们能够教会学生识别教材常见的几何图形,充分挖掘基本几何图形的价值,讲解时重视基本解题方法的讲授,并辅之以适当的题目,那么在教学中会达到事半功倍的效果.

案例2 以一道课本习题为例.如图10,AD与BC相于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.

图10

师:这题要求证OE垂直平分BD,即OE是BD的垂直平分线,要证明一条直线为一个线段的垂直平分线,要如何证明?

生:应证明两个点到线段BD的距离相等,且这两个点都在要求证的直线BD上才可以.即证明OB=OD,BE=DE.

师:此题中BE=DE为已知,如何证明OB=OD?

生:OB=OD在不同的三角形上,所以,可以用全等三角形来证明.

师:在这个图中,常见的全等三角形的图形有哪些?你能否用将他们提取出来?

生:

图11

图12

图13

图14

师:这些都是我们常见的全等的图形(图11-图14).所以本题证明,可以转化为证什么?

生:可以转化为证△CDO～=△ABO.

证明在△AOB与△COD中,

所以

所以OB=OD,所以,点O在线段BD的垂直平分线上,因为BE=DE,所以点E在线段BD的垂直平分线上,OE垂直平分BD.

师:识别上述的几个基本图形,我们在证明全等三角形时,会让我们达到事半功倍之效,我们看下以下几道题.

应用1已知:如图15,AC⊥OB,BD⊥OA,AC与BD交于E点,若OA=OB,求证:AE=BE.

师:图15中的基本图形中全等形有哪些?

生:

图15

图16

图17

图18

师:已知条件跟什么挂钩?

生:△CAO和△DBO.

师:AE和BE在哪些三角形中?

生:△AEO和△BEC.

师:如何证明?

生:因为AC⊥BD,所以

又因为BD⊥OA,所以

因为 ∠O= ∠O,所以△CAO≌△DBO(ASA),所以OC=OD,又因为

所以

又因为 ∠AED= ∠BEC,所以△CAO≌△DBO,所以AE=BE.师:将基本图形旋转下,可以得到如下应用2的图19,而教材中的另外一道习题(应用3)也可以在应用2的基础上再进行拓展.

应用2 已知,如图19,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AD=AE.

求证:BE=CD.

解析要证BE=CD,因为BE和CD在△BAE和△DAC中,所以可以转化为证△BAE～=△DAC,题目中已知AB=AC,AD=AE,根据全等三角形证明方法(SAS)知应证∠BAE=∠DAC,由于题目已知∠BAC=∠DAE=90°,而∠BAC+∠CAE= ∠DAE+∠CAE,即∠BAE= ∠DAC.

应用3(课本习题):如图20,在△ABC的外边作等边△ABD、等边△AEC,求证:BE=CD.

图19

解析要证BE=CD,因为BE和CD在△BAE和△DAC中,所以可以转化为证△BAE≌△DAC,题目中已知有等边△ABD、等边△AEC,所以AB=AD,AC=AE,根据全等三角形证明方法(SAS)知应证,∠BAE=∠DAC,由于题目已∠BAD= ∠CAE=60°,而∠BAD+∠CAB=∠CAE+∠BAC,即∠BAE= ∠DAC.

图20

在应用3做完后,教师可以适当鼓励学生改变此题,引导学生思考,如果的外边作的不是等边三角形,而是等腰直角三角形,四边形,甚至多边形,那么能否得到类似的结论?如下面的应用4和应用5.

应用4 如图21,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD= ∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由.

图21

图22

应用5 如图22,已知△ABC,分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG.连接EC、BG,判断EC与BG的关系并证明.

在教学中,如果我们能深挖课本习题的价值,让学生掌握课本问题的“本质”证法,学生就能举一反三,在基本题型的基础上,学生就能应付层出不穷的数学问题.

2.3 分解基本图形,一题多解促发展

一道数学题,由于思考的角度不同,我们可以得到不同的思路,而这些思路来源于我们对基本题型的熟悉.正如前面所说的,在教材的习题中,我们会遇到许多基本图形,如果学生能熟练识别常见几何图形,并掌握基本解题方法,那么对于一些难度较大的几何题,学生便能从复杂图形分解出几何图形,找到解决难题的突破口,从而达到事半功倍之效.

案例3一道东莞市中考几何题的评析课

如图23,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于F点,连接PF.

图23

(1)若 ∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的长;(结果保留π)

(2)求证:OD=OE;

(3)PF是⊙O的切线.

本题前面第一个小问考查弧长公式,学生解答还可以,但是第二问,学生有点吃力,第三问,学生更是无从入手,故教师在解答第(2)(3)问前,就引导学生回忆教材的基本几何图形,引导学生从复杂图形中提取基本图形,发现题目隐含条件,作为解决问题的突破扣和切入点,并通过画辅助线构造新的几何图形,将分散的条件集中到有效的图形上进行解决.

本题解答前教师先做如下铺垫:

师:从这个图形中,你能得出什么基本几何图形?

学生在教师的引导下从复杂图形中提取以下基本几何图形(图24):

图24

师:第二问目标是证明,通过之前我们提取出来的基本几何图形,结合证明线段相等的两种常规方法是?

生:当线段在同一个三角形时,通过等角对等边证明,当线段在在不同三角形时,通过证明两三角形全等来证.

师:所以本题证明OD=OE,可以转化为证?

生:可以转化为证△ADO～=△PEO.

师:本题的直接条件:OD⊥AB,PE⊥AC,要证△ADO～=△PEO,你还能找出什么条件?

生:OA=OP,∠AOD= ∠POE.

第(2)问解法如下

证明如图25.因为OD⊥AB,PE⊥AC,所以 ∠ADO=∠PEO=90°,所以在△ADO和△PEO中,∠ADO=∠PEO,∠AOD= ∠POE,OA=OP,所以△ADO≌△PEO,所以OD=OE.

图25

第三问目标要证PF是⊙O的切线,其实也就是要证明OP⊥PF,即∠ODF=90°,直接证明难度比较大,而学生通过观察易发现,四边形DBPF是一个矩形,所以本题思路一是证四边形DBPF是一个矩形.

第(3)问解法一

图26

证明如图26.连接AP,因为OA=OP,所以 ∠1= ∠3,由(2)得OD=OE,所以 ∠2= ∠4,又 ∠AOP= ∠EOD,所以 ∠1=∠2,所以AP//DF,∠PAD=∠FDB,因为PD⊥AB且PD经过圆心O,所以,根据垂径定理可知,AD=DB,又因为AC是直径,∠PDA= ∠B=90°,所以△APD≌△DFB,所以PD=FB,所以四边形DBPF是平行四边形,因为∠B=90°,所以四边形DBPF是矩形,,所以PF是⊙O的切线.由上面的思路,学生容易想到可以证四边形APFD是平行四边形

第(3)问解法二

图27

证明如图27.连接AP,所以OA=OP,所以 ∠1= ∠3,由(2)得OD=OE,所以 ∠2= ∠4,又 ∠AOP= ∠EOD,所以 ∠1=∠2,所以AP//DF,∠PAD=∠FDB,因为PD⊥AB且PD经过圆心O,所以,根据垂径定理可知,AD=DB,又因为AC是直径,∠PDA= ∠B=90°,所以△APD≌△DFB,所以PD=FB,所以四边形DBPF是平行四边形,所以AP//PF,所以∠PDA= ∠DPF=90°,所以PF是⊙O的切线.

由已知和要证明的,在四边形DBPF中,有三个角为90°,由四边形内角和公式知∠PFB=90°.通过之前筝形图形的铺垫,学生比较容易想到通过做辅助线PC,来证明△PCE≌△PCF,进而证明 ∠PFB=90°.

图28

证明如图28.连接PC,由AC是直径知BC⊥AB,又OD⊥AB,所以PD//BF,所以∠OPC= ∠PCF,∠1= ∠4,由(2)知OD=OE,则 ∠1= ∠2,又 ∠2= ∠3,所以 ∠3= ∠4,所以EC=FC,由OP=OC知 ∠OPC= ∠OCE,所以∠PCE=∠PCF,所以在△PCE和△PFC中,EC=FC,∠PCE= ∠PCF,PC=PC,所以△PCE≌△PFC,所以 ∠PFC= ∠PEC=90°,由 ∠PDB= ∠B=90°,可知∠ODF=90°,即OP⊥PF,所以PF是⊙O的切线.

整个案例的教学过程,提示我们在平时的教学实践中,不仅要注重教材基本几何图形的研究,更要善于结合有趣的题目来“借题发挥”,在平时的数学教学中,有大量的一题多解的例子,如果我们在拿到一个题目后,能有意识的去观察、分析和研究,在课堂上与学生进行讨论,从不同思考角度得到不同解题思路,那必定在教学中必定可以从基本题型出发,变化出很多的花样,增大课堂容量,拓展学生思维,让学生走出茫茫题海,促进学生自主探索能力,培养学生创新思维.

3 关于借题发挥促发展的两点思考与建议

3.1 借题发挥不应只是教师的独角戏,应让“变化”的魅力吸引学生也参与其中

学生不是带着空的脑袋进教室的,每一名学生都有许多数学知识和生活经验,教师可以鼓励学有余力的学生在一起适当改编原题或者从自己练习过的题目中找到与课本练习题相类似的变式题,让他们的数学思维通过交流与碰撞,得到进一步提升,并学会自主地进行训练和创新训练,丰富课堂内容,创生课程资源.

3.2 借题发挥避免过度深化题目,应该在学生现状和未来发展之间把握好一个“度”

教材的编写渗透着专家的智慧,教材知识是循序渐进的,教师在日常备课中要博采众长,披沙拣金,使得题目的引申、拓展能紧紧围绕教学目的、教学重难点以及学生现有知识储备,而不至于过度深化,增加学生负担,使得教学有序进行却不“僵化”,题目进行引申却不“偏离正轨”,在学生现状和未来发展之间把握好一个“度”.

4 结束语

教育学家波利亚认为,“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,不如适当地选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题过程中,提高他们的才智和推理能力.”让我们紧紧围绕以“教师为主导,学生为主体”的教育理念,为学生努力创建好平台,利用好教学资源,使教材“活”起来,使学生的思维活跃起来.