数学证明方法“大聚会”——以“轴对称图形”为例

数学证明方法“大聚会”
——以“轴对称图形”为例

眭亚燕

苏科版《数学》八年级上册“轴对称图形”内容呈现的最大特点是——在探索中不断地进行表达形式多样化的证明.课本安排了折纸、画图、猜想等多种活动，为同学们提供自主探索的空间，引导大家在“做”中感悟轴对称图形的数学本质，然后又通过图形运动法、综合法、分析法、反证法、类比法等探索得到一些结论.现结合课本中的具体例子一一阐述.

一、图形运动法

图形运动（平移、翻折、旋转）既是探索发现图形旋转的有效手段，也是证明图形性质的一种方法.在本章中，运用“图形运动”的方法，证明了以下性质定理：（1）线段垂直平分线性质定理——线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）角平分线性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等；（3）等腰三角形性质定理——等腰三角形的两底角相等以及等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合.下面仅以“角平分线性质定理”的证明加以说明.

例1 （课本第54页）在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD（如图1）.PC与PD相等吗？

图1

图2

证明略，这里虽然可以运用直角三角形全等加以证明，但课本中先运用图形运动——翻折，再利用角的轴对称性证明PC=PD（如图2），目的是引导同学们不断感受证明过程中不同的表达形式，这样有利于不断培养同学们的几何直观能力.

练习1 如图3，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，P是AD上任意一点，连接BP、CP并延长，分别交AC、AB于点E、F.你能得出哪些结论？试用图形运动的方法选一个结论证明.

图3

二、综合法

综合法是指从已知条件出发，借助一些性质和有关定理，经过逐步逻辑推理，最后得到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

例2 （课本第55页）已知：如图4，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P.求证：点P在∠C的平分线上.

图4

图5

证明略，辅助线的作法如图5.综合法形式简捷，条理清晰，逻辑结构严谨，但往往枝节丛生，难以一下子达到目的.在本例的解答中，同学们仍然会找全等三角形，而不是直接运用角平分线的性质定理和逆定理.所以在解决此题时同学们可以充分讨论、交流、分析，自己完善、简化证明的思路，打破思维定式的束缚，发展思维的灵活性，使证明方法最优化.

练习2 （课本第57页习题5）已知：如图6，AB=AC，DB=DC，点E在AD上，求证：EB=EC.

图6

三、分析法

从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法.它的基本思路是“执果索因”，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.

例3 （课本第56页）已知：如图7，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：AD垂直平分EF.

图7

证明略.分析法是从“未知”看“需知”，渐渐靠拢“已知”.它叙述冗长，但常常根底渐近，有希望成功.考虑到逆向的分析思考比顺向的综合思考要求更高，课本在本章第四节后，安排了关于生活中“倒过来想”——司马光砸缸的阅读材料，有利于同学们学会逆向分析的思考方法.我们在实际解题时，应把综合法和分析法结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程，这就达到了扬长避短、相互协调、相得益彰的良好目的.

练习3 （课本第58页习题10）已知：如图8，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：BE=CF.

图8

四、反证法

由于原命题与逆否命题等价，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理，如果逆否命题正确或者假设原命题不成立，推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，也就证明了原命题的结论是正确的.这种证明方法叫反证法.

例4（课本第52页）线段的垂直平分线外的点到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？

不相等，证明略.牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一.”一般来讲，反证法常用来证明从正面证明有困难、情况多或复杂，而命题的否定则比较浅显的题目，这样，问题可能解决得十分干脆.

练习4 已知，如图9，点P在∠AOB内，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，且PC≠PD.求证：点P不在∠AOB的平分线上.

图9

五、类比法

类比法也叫“比较类推法”，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法，简称类推、类比.其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大.课本在本章后面安排了关于“等腰梯形”的阅读材料，作为本章内容的延伸和拓展——运用与等腰三角形“类比”的方法探索等腰梯形的性质.

例5 （课本第68页“阅读”，有删改）如图10，在等腰三角形纸片ABC上，画底边BC的平行线DE，可得到一个梯形DBCE.由∠B=∠C，DE∥BC，可知∠ADE=∠AED，于是AD=AE.又AB=AC，从而DB=EC.像梯形DBCE，两腰相等的梯形称为等腰梯形.如果把图10的等腰三角形纸片ABC沿顶角平分线AM折叠，那么AB与AC重合.由于AD=AE，可知点D与点E重合（如图11），于是MB=MC，ND=NE.由此，你能得出哪些结论？选一个结论证明.

图10

图11

解答略.类比法的特点是“先比后推”.“比”是类比的基础，既要“比”共同点也要“比”不同点.对比对象之间的共同点是类比法能够施行的前提条件.

练习5 （课本第69页“阅读”）如图12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.求证：梯形ABCD是等腰梯形.

图12

总之，从本章开始，证明的方法将越来越多样化.其中性质定理的证明多次采用图形运动的方法，目的是不断发展同学们对图形直观把握的能力，逐步形成一种审视、处理问题的方式；而例题的解答则较多地采用分析和综合的方法，目的是让同学们明白，在解题中，应把分析和综合两者有机地结合起来，既要注重分析，又要学会综合，还要会联合运用这两种方法进行思考和论证，同时还让同学们适时了解了反证法和类比法，堪称数学证明方法的“大聚会”.

（作者单位：江苏省常州市新北区浦河实验学校）