寻找轴对称的本质

刘 跃

寻找轴对称的本质

刘 跃

本章内容在近几年中考试卷中重点考查轴对称的概念和性质，同学们在解决问题过程中要抓住问题本质，掌握方法和技巧去解决问题.

一、中考热点

热点1：利用概念解决问题.

例1 （2016·深圳）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）.

【解析】由轴对称图形的概念易得结果是B.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

例2 如图1，在正方形方格中，阴影部分是7个涂黑的小的正方形所形成的图案，再将方格内空白的1个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的方法有 种？

【解析】通过观察阴影部分和正方形网格可以确定现有图形是轴对称图形，从而可以确定对称轴是正方形网格的一条对角线，进而确定所要涂黑的小正方形在正方形网格的这条对角线上，得到答案有3种.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，利用轴对称图形概念结合分类讨论思想解决问题.

热点2：利用轴对称相关性质解决问题.

例3 （2016·南充）如图2，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）.

图1

图2

A.AM=BM B.AP=BN

C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM

【解析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论.选择B.

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.

例4 （2016·河北）如图3，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）.

图3

A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上

【解析】如图4，在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得出正确结论D.

图4

【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型.

热点3：利用轴对称性质作图.

例5 （2013·南宁）尺规：把图5（实线部分）补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）.

图5

【解析】所作图形如图6：

图6

【点评】关于作轴对称图形的步骤，一般是先作出对称点，然后连接对称点得到对称图形.

二、解题方法和技巧

方法1：转化.

例6 如图7所示，已知等腰三角形ABC，AB边的垂直平分线交AC于D，AB=AC=8，BC=6，求△BDC的周长.

图7

【解析】利用线段垂直平分线的性质可以得到AD=BD，从而得到△BDC周长为14.

【点评】本题的思路主要是将线段进行转化，把三角形周长转化为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法.

例7 如图8所示，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.

图8

【分析】作法：1.作A点关于公路的对称点A′；2.连接A′B交公路于点C，则C点就是所求作的机场位置.

【点评】本题通过作点A关于直线的对称点A′，把AC+BC的和的最小问题转化为A′、B两点之间线段最短的问题.

【变式】如图9所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使A到B的距离最短？

【解析】如图10，设桥为PD，虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的，所以设B′B平行且等于PD，连接PB′，当A、P、B′在同一直线上时，AP+BD最短.

图9

图10

【点评】此题考查了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.

方法2：拼图.

例8 如图11所示，一批废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，现要把这种废钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每块切割的次数最多两次，切割的损失忽略不计.（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并且用简要的文字加以说明.（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？

图11

【分析】（1）方案1、方案2如图12、图13所示：

图12

图13

方案2中M、N为AB、AC中点，MK⊥BC.

（2）若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形.

【点评】本题创新之处在于利用等腰三角形的对称性质进行切割后拼接成矩形，这种利用轴对称的性质解决实际生活中一些最优化方案的设计问题是中考的热点问题.

轴对称在生活中随处可见，中考题更多的是把轴对称知识综合到几何问题和函数问题中，熟练掌握轴对称的相关性质是学好后续知识的基础.

（作者单位：江苏省常州市新北区薛家中学）