“授渔”与“学渔”

雷志齐

人教版五年级下册“最大公因数”一课安排了这样一道习题（如图所示）。

学生用列举方法解答后，我在讲解时进行了这样的处理———

学生汇报，教师板书：

（4，8）=4（12，36）=12（1，7）=1

（8，9）=1（12，35）=1

师：仔细观察4和8、12和36，你们有没有什么想说的？

生1：我发现8是4的2倍，36是12的3倍。

师：也就是说每组数中的两个数是倍数关系，那现在你们有什么发现吗？

生2：当两个数之间是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的那个数。

师：如果这两个数是其他倍数关系时，也有这样的规律吗？可以怎样验证？

生3：可以举几个例子看看。

师：举例子是一个好方法。

学生举例验证后，发现两个数成倍数关系时，它们的最大公因数都是其中较小的数。

师：当我们想证明某个结论是否成立时，可以通过列举多个相关的例子来验证，这种方法叫列举法，在数学中经常用到。仔细观察1和7，它们的最大公因数是1。老师突然有个问题：1和9的最大公因数是几？1和999的最大公因数是几？1和1000呢？1和其他数呢？你能得出什么结论？

生4：我发现1和任何自然數的最大公因数都是1。

师：同学们再看看8和9，又有什么发现？

生5：它们是相邻的数，最大公因数是1。

师（故作惊讶）：我不相信这位同学的发现，怎么办？

生6：可以用列举法进行验证。

师：那就试试吧！

学生举例验证，师生共同得出：相邻两个数的最大公因数是1。

师：再看最后一组数12和35，你们有没有什么想说的？

生7：两个不同的合数，它们的最大公因数是1。

师：你们觉得他说的对吗？请试着验证他的说法。

生8：老师，我发现他的说法不对。12和10是两个合数，但它们的最大公因数是2，不是1。

师：要证明一个结论成立，需要举很多例子，而要说明一个结论不成立，只需要举一个反例。若把这句话改成“两个不同的质数，最大公因数是1”，这个结论正确吗？

多数学生点头，认为这个结论正确。还有学生马上用列举法验证，发现结论正确。最后师生共同得出：两个不同的质数，它们的最大公因数是1。

师：谁能对我们刚才的发现作个归纳小结？

生：……

师：当两个数的最大公因数是1时，我们就说这两个数是互质数，它们的关系叫互质关系。倍数关系、互质关系是两种特殊情况，故我们把这种找最大公因数的方法称为特殊法。用特殊法找最大公因数比列举法要快。

……

反思：对这道习题，如果在学生做完后汇报各自的发现就结束的话，只是典型的授之以鱼的模式。教师的做法却是，先让学生用一般方法求最大公因数，再引导学生发现规律，不断质疑，多次举例，不断验证，让规律来得更“艰难”一些，让教学之路更曲折一点。在这个过程中，教师注重学习方法的指导与渗透，让学生充分体验列举法的作用，并且能够运用它。这种既关注结果，又关注过程与方法的教学就是“授渔”。学生在学习过程中，通过自己的经历与体验，掌握了“观察发现—举例验证—得出结论”的学习方法，这就是“学渔”。学生在自主“学渔”的过程中掌握规律，积累活动经验。在课堂中，教师要“授渔”，学生要“学渔”。两“渔”兼得，教学才有后劲。

（作者单位：耒阳市实验小学）endprint