数学解题反思：层次性及其案例（上）

潘小明

早在上世纪80年代，Zeichner & Liston就曾根据Van Manen的研究提出了关于学习者反思具有低、中、高等不同层次的观点[1][2]。国内也有学者把反思划分为“前反思”“准反思”和“反思”三种不同水平的反思层次[3]。那么，就中学生数学解题这一特定的实践而言，实践者的实践反思在层次上有怎样的特点？针对这一现实而基本的问题，研究者于2015年3月开始对江苏省中部地区某农村初中学生数学解题反思的行为进行了跟踪研究，初步概括了初中生数学解题反思的常识性、知识性、技术性和思想性特点，本文拟结合具体案例对这4种不同层次的反思进行简要的描述与分析。

1.解题反思的常识性层次

这种层面的反思表现对当下数学解题活动瞬间的常识化思维，本质上是一种对数学解题活动没有深层思考的准反思。研究者在调研时发现，成绩较差的学生在数学解题过程中如果遇到了自己熟悉的数学刺激或问题情境，就容易表现出常规式、习惯性“想一想”“推一推”的数学活动方式。他们的数学解题行为更多地表现出一种自动化、半自动化的特性。个别访谈时发现，一些学生在数学解题中之所以出现数学错误，是因为他们的反思始终处于一种即時化、意识流式的常识状态，在数学思维上没有或很少涉及下一步该如何行动以及为什么这样行动。从本质上看，与其说这些学生处于数学解题反思状态中，还不如说他们仅仅是处于数学解题活动的准反思状态中。

案例1求4m的倒数。

由于学生的解题反思水平仅仅处于常识性的层次，他们在解题过程中就容易被一些看起来合情合理的常识所迷惑。比如，正数是表示大于0的数，对应的符号用+表示，负数是表示小于0的数，对应的符号用-表示，这是一种常识。在特定的数学情境下，这种所谓的常识会掩盖数学整体的意义，稍有不慎，就有可能犯实质性的数学错误。一个典型的例子是，在对学生进行“比较4m与-4m大小”这一类题的测试中，有学生就因为所谓的常识而不加分析地断定4m是正数、-4m是负数，并由此得到4m>-4m的唯一答案，而没有认识到字母m除了可取正值，还可取负值或0，4m与-4m的大小比较要根据m的取值进行讨论。总的来说，仅仅处于常识性反思层面的学生在数学解题过程中并非没有“想一想”“推一推”，只是他们的“想一想”“推一推”更多地停留于非常浅显的数学思维层次。

2.解题反思的知识性层次

解题的第一要务是把题目解出来，基于这种基本使命，学生对题目“究竟怎么解决”“究竟怎么做”往往有较高的关注度，由此也使他们的解题反思表现出知识性层次的特点。这种特点表现为学生对相关数学题目中相关概念、命题、法则“所知”的反思，并因此产生对问题中相关要素界定的思维。比如，有学生在讨论中会问：“这句话是什么意思？”“这个式子是什么含义？”“条件或结论在说什么？”知识性层次解题反思也会表现为学生对相关数学题目中相关概念、命题、法则“所识”的反思。这是学生基于个人经验、见识对当下数学问题及其解答过程中相关刺激、相关要素进行必要的辨认、识别、判断，并据此产生进一步问题表征、方法匹配、解题决策的解题行为。可见，在知识性层次的解题反思中，学生不仅结合个人的数学活动经验对当下的事实性、命题性和程序性三类数学知识进行必要的提取，而且据此进一步揭示待解数学题目的一些特征，初步分析问题所属的类型，基于“所知”“所识”进行解题思路、模式和经验的匹配与对接。

案例2在一节习题课上，数学教师要求学生解答如下的一道选择题：

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

案例3下午4点到5点，电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合，试求解这部动画片播了多少时间？

案例描述与分析在这一测试中，研究者要求3名学生就本题的解答进行出声思维。为了说明出声思维的含义，研究者本人结合其他数学题目的思考过程进行了必要的示范。

研究者发现，被试学生拿到题目后，先是读了两遍题目，然后准备在作业纸上书写。不过，他们很快放下了笔，因为他们不知道写什么。研究者启发他们：“动笔之前，好好想一想哟！”但后来发现有2位学生开始自言自语：“这好像是小学里的算术问题！”“什么类型的呢？”“我想想！”“行程问题？噢，不，不是的。”“有点像追及问题。”“我如果把分针和时针分别看成2个人，不就是分针这个人追赶时针这个人，追赶的时间不就是动画片播放的时间吗？”“嗯，解答有了。只要假设时针行走的速度为每小时1格，则分针行走的速度就是每小时12格，如果这部动画片播了x小时，那么分针行走到与时针重合时也需要x小时，根据题目的信息，因为分针比时针多走6格，所以可以列出方程：12x=1·x+6，嗯，搞定！”在该案例中，类似的问题通常被称为钟面问题。开始时，分针与时针成一条直线，所以相差180毅；结束时两针重合，所以相差0毅。有学生在表征问题阶段，联想到小学阶段应用题中的追及问题，本身体现了对数学模式的识别。据此，这些学生不仅重新理解了待求解的数学题目，而且解题时的思路显得十分清晰。

中学生在数学解题反思中的“所识”直接影响着其“所知”的状态。

（待续）endprint