问渠那得清如许，为有源头活水来

颜坚真

[摘 要] 笔者针对高考压轴题的教学研究，发现极值点偏移可以通过构造一元差函数来处理及对数平均值是它的数学本质. 由此，给出重视教材内容及习题创新、渗透数学思想及方法提炼、典型试题的来源及筛选等教学与备考的启示.

[关键词] 极值点偏移；构造；一元差函数；对数平均值；数学本质；教学启示

考题再现

（2016年全国Ⅰ卷理科压轴题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

解析：（1）对a进行分类讨论，得到a的取值范围为（0，+∞）. 第（2）题学生一开始感到很陌生，不知怎么找突破口. 为此，让学生回顾教材，寻找与之类似的题型.

考题探源

（选修2-2第32页习题1.3 B组T1（3））利用函数的单调性，证明：ex>1+x（x≠0）.

解析：本题来源于高中教材中的选修内容，学生很快就有了想法：构造函数f（x）=ex-x-1，然后求导，判断其单调性. 由f（x）>f（0）=0，从而得证. 有了刚才的求解体验，学生的兴趣很快被调动了起来. 借助多媒体技术的教学功能，用几何画板画出函数f（x）=ex-x-1的图像，观察得到函数的极小值点x=0也是函数唯一的零点.把函数图像向下平移一个单位长度，得出函数f（x）=ex-x-2的图像，由图像可知函数有两个零点，并且极小值点x=0偏移两个零点的中点. 从而，趁机可以对本题进行改编.

改编：已知函数f（x）=ex-x-2有两个零点x1，x2，证明：x1+x2<0.

证明： f ′（x）=ex-1，所以x=0是函数f（x）的极小值点.

构造函数F（x）=f（-x）-f（x） ，即F（x）=e-x-ex+2x，F′（x）=-（e-x+ex-2）.

当x∈（-∞，0）时，F′（x）<0，故F（x）在（-∞，0）上单调递减.

所以F（x）>F（0）=0，即f（-x）-f（x）>0.所以f（x）

由图像可知，两个零点x1，x2在0的两侧. 不妨设x1<0

由f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2<-x1，即x1+x2<0.

由于x=0是函数f（x）的极值点，要证x1+x2<0，就是证明极值点偏移. 什么是极值点偏移？我们知道，二次函数f（x）的顶点就是极值点x0，若f（x）=c的两根的中点为 ，则刚好有 =x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值點没有偏移（如图1）；而函数g（x）= 的极值点x0=1刚好在两根的中点 的左边，我们称之为极值点左偏（如图2）.

我们对极值点偏移问题进行分类，一是按极值点偏移的特点来分，可以分为两类：左偏 >x0和右偏

从改编题的求解过程中，注重构造函数F（x）=f（-x）-f（x） . 2016年高考题第（2）题就是典型的极值点纯偏移型问题. 由f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，得f ′（x）=（x-1）·（ex+2a），可知f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增. 要使函数y=f（x）有两个零点x1，x2，则必须a>0，由此（1）得解. 这时，学生明白了原来所证问题是极值点偏移，高兴极了，纷纷欲试，一展身手，想尝试挑战2016年高考压轴题.下面提供学生的解答方法：

解法一：构造一元非对称性差函数.

（2）证明：f ′（x）=（x-1）（ex+2a）.

由（1）知a>0，所以x=1是函数f（x）的极小值点.

构造函数F（x）=f（2-x）-f（x） （x<1），整理得F（x）=-[xe2-x+（x-2）ex]，则F ′（x）=（1-x）（ex-e2-x）.

当x∈（-∞，1）时，F′（x）<0，故F（x）在（-∞，1）上单调递减.

所以F（x）>F（1）=0，即f（2-x）-f（x）>0.所以f（x）

由（1）可知，两个零点x1，x2分居1的两侧，不妨设x1<1

由（1）可知， f（x）在（1，+∞）上单调递增，又x2>1， 2-x1>1，所以x2<2-x1，即x1+x2<2.

解法二：构造一元对称性差函数.

由已知得f（x1）=f（x2）=0，不难发现x1≠1，x2≠1.

故可整理得-a= = . 设g（x）= ，则g（x1）=g（x2）.

构造函数G（x）=g（1+x）-g（1-x），（x∈（-∞，1）），利用单调性可证，此处略.

点评：证x1+x2<2，即要证 <1. 是函数y=f（x）的图像与x轴交点的中点的横坐标，不等式右边的1恰好是函数f（x）的极值点，因此本质上是证极值点右偏.解决极值点偏移的关键是构造函数，构造一元差函数是此题的难点.

考题本质

从解法一到解法二，解答极值点纯偏移型，它的方法在于构造函数，一般处理策略为：

（1）构造一元差函数F（x）=f（x）-f（2x0-x）（非对称性）或是F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）（对称性）；

（2）对一元差函数F（x）求导，判断导数符号，确定其单调性；

（3）结合F（0）=0，判断F（x）的符号，从而确定f（x0+x）与f（x0-x）的大小关系；

（4）由f（x1）=f（x2）=f[x0-（x0-x2）]与f[x0+（x0-x2）]=f（2x0-x2）的大小关系，得到f（x1）>（或<）f（2x0-x2）；

（5）结合f（x）的单调性得x1>（或<）2x0-x2，进而得到 >（或<）x0.

著名数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力. 通过这道高考题求解过程的反思，了解了构造一元差函数是证明极值点偏移问题的关键所在. 但在处理这类问题上，学生产生了困惑：此题为什么要构造差函数相减才能奏效，而不能相加？课后笔者与学生共同探讨过进行相加构造加函数而以失败告终，相减构造差函数的思想基础是什么？其他极值点偏移的考题是否也可以效仿相减的思路构造差函数？带着这些问题，笔者期待与大家共同探讨交流，对问题进一步探究，试图解决学生心中的困惑.

此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.

拉格朗日中值定理：若函数f（x）满足如下条件：①函数在闭区间[a，b]上连续；②函数在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）= . 当f（b）=f（a）时，即得到罗尔中值定理.

上述问题即对应于罗尔中值定理，联系到f（ξ）= 的结构形式，想到函数中的平均变化率，而它有很好的几何意义. 为此，相减构造差函数这一代数方法之所以能奏效，其理论思想基础就是数形结合思想——A（x1，0），B（x2，0）两点所在直线斜率k的坐标表示. 涉及平均值，高中数学教材中的基本不等式能不能提供理论思想基础的来源？

考题的进一步拓展与延伸

高中数学教材上熟悉的基本不等式： ≤ （a，b∈R+），即“几何平均数”小于或等于“算术平均数”，等号成立的条件是a=b. 对这个不等式加强之后，引入另一个平均值——对数平均值，得到对數平均值不等式：a>0，b>0，a≠b， < < .

以下给出证明：

由对称性，不妨设a>b>0.

（1） < lna-lnb> ln > lnx> . 构造函数f（x）=lnx- （x>1），则f ′（x）= . 因为x>1，所以f ′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增. 所以f（x）>f（1）=0，所以 < 成立.

（2） < lna-lnb< ln < 2lnx

构造函数g（x）=2lnx-x- （x>1）， 则g′（x）=- -1 .

因为x>1，所以g′（x）<0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减.

所以g（x）

由（1）和（2）可知，当a>0，b>0，且a≠b时，有 < < .

下面利用这个不等式解答2016年全国Ⅰ卷这道高考的压轴题.

证明：设？摇f（x1）=f（x2）=0，则

（x1-2）ex1+a（x1-1）2=0，

（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0（x1

移项并两边取对数，得

ln（2-x1）-ln（1-x1）2+x1=lna①，

ln（2-x2）-ln（1-x2）2+x2=lna②.

①-②得

ln（2-x1）-ln（2-x2）-[ln（1-x1）2-ln（1-x2）2]=x2-x1（显然x1<1

- =1

+（x1+x2-2）·

根据对数平均值不等式，有

> ；

> .

由③式，可得 +（x1+x2-2）· <0，即（x1+x2-2）· + <0.

因为 + >0，

所以x1+x2-2<0，所以x1+x2<2.

点评：证明极值点偏移问题，由于所给函数是与指数和对数有关的函数，而且底数都是e，所以很难用到基本不等式，但可以利用对数平均值不等式求解，关键在于转化利用该不等式，其解题沿循着如下处理方式：

（1）根据f（x1）=f（x2）=c建立等式；

（2）如果含有参数，则消参；如果等式中含有指数式，则两边取对数；

（3）通过恒等变形转化为对数平均值，利用对数平均值不等式直接求解并适当变形.

考题变式

例1：（2010天津理）已知函数f（x）=xe-x（x∈R）. 若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）. 证明：x1+x2>2.

例2：（2011辽宁理）已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x. 若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f ′（x0）<0.

例3：（2013湖南文）已知函数f（x）= ex. 证明：若x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，则x1+x2<0.

上面这三道高考题所证不等式尽管不同，但本质上都是证明极值点偏移问题，都可以利用上面两种方法进行求解.

考题对教学的启示

解决极值点偏移问题可以构造一元差函数和利用对数平均值不等式这两种方法，本质上都是把两个变元的不等式转化为一元问题求解，途径都是构造函数，解法一和解法二都是构造一元差函数，而利用对数平均值不等式的解法是捆绑式构造函数（证明对数平均值不等式的方法）. 其中，对数平均值不等式尽管在现行教材中未曾被提起，但是在高考题中，以这个不等式为背景的压轴题已悄然进入我们的试题中. 给我们高三备考的教学启示就是：

1. 重视教材内容及习题创新

我们知道，高考数学的全国卷命题以突出能力为特点，秉承“源于教材，高于教材”的原则. 在教学中给我们的启示就是要充分研究每年的《考试说明》和《普通高中数学课程标准》的内容，让复习的方向能依纲靠本. 在备考中，要回归教材，挖掘教材，对教材内容加工再创造. 像今年高考压轴题并没有在教材中直接与之相似的题型，但经过对教材习题加工再创造，在原题基础上适当创新改编就是一道很好的高考题. 让学生明白教材的重要性，复习过程中不能脱离教材，丢弃教材，应对教材内容及习题再创新.

2. 渗透数学思想及方法提炼

高考数学压轴题的题意，重点在考查学生运用导数处理有关函数的单调性和极值点、最值问题，以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法. 因此，日常的教学过程中，得充分贯彻各种数学思想方法，以题型为载体，潜移默化地渗透解题中体现的数学思想和方法提炼.

3. 典型考题的来源及其筛选

今年有九个省份地区参加数学高考全国Ⅰ卷，通过调查，笔者所在学校的学生对极值点偏移感到陌生.其实，极值点偏移不属于特别新的内容，各地历年高考题和模拟考题都有出现过，如考题变式中的例1、例2和例3. 因此，说明命题人在出题时也参考过其他省份地区高考的出题模式. 命题人可能考虑到今年高考有多个省份采用全国Ⅰ卷，而且有些省份高考还是第一次参加全国Ⅰ卷，如广东省就是今年第一次参加. 命题专家可能为了寻找最大公约数，避免各个省份波动太大，采用了大家“相对”熟悉的素材——极值点偏移. 所以，在准备本省份地区高考备考时，也要参考其他省份地区高考出现过的类型试题.其次，各地的模拟考题也是值得我们关注的对象. 为此，在高三复习课的备考中，注意精选题型，选题必须具有典型性和代表性，选题的来源可以是历年高考题、各地区的高考题及模拟考题.

4. 关注热点问题及高考动态

极值点偏移这个素材是在近几年各地刊物上热烈讨论关于非对称函数的性质，所以我们要深入教学研究，关注近期核心刊物发表的热点数学问题，给我们提供教学研究的素材. 另外，每年高考动态千变万化，作为教师，我们必须关注其变化，理清其方向，这是我们备考的指明灯.

5. 挖掘考题背景及数学出处

虽然我们无法猜测高考命题者的出题意图，但是在我们高考的考题中，以高等数学为背景的题目类型已经进入我们的考题，如高等数学中的拉格朗日中值定理和对数平均值不等式. 古希臘数学家毕达哥拉斯说过：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.”所以，在解题教学中，不但要对题型详细分析和讲解，还得挖掘试题的背景，明白命题人命题意境“问渠那得清如许，为有源头活水来”的数学背景及出处.

在高考备考中，教师的专业化素养需要发展，要想给学生“一滴水”，教师应有“一桶水”. 我国著名数学家华罗庚先生说过：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决.”因此，在教学中，数学教师需要研究考题与考情，学情与教材，等等. 在学习研究中，提高教师的专业能力水平. 中学数学教师更要顺应时代的发展，从数学学科的特点出发，着力培养学生的创新思维能力，在数学解题教学中充分发挥学生的主体能动性，激发学生强烈的求知欲，让学生自主探索、发现、解决问题，享受发现、分析和解决问题的乐趣，获得成功的喜悦，使教师的一桶水甚至一杯水引发出学生一条奔腾不息的创造力之河成为可能.endprint