递推数列求通项方法总结

程立清?李晓青

新课程标准下对于数列部分考查难度降低，分析近几年高考试题数列部分，发现考查递推数列求通项比较频繁，本文结合具体例题总结各类形式递推数列通项的求法。

一、累加法、累乘法

求形如an-an-1=f（n）（f（n）为等差或等比数列或其它可求和的数列）或 的数列求通项，可用累加法或累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加或累乘求得通项。

例1.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有 ，（n>1）求 .

解：由已知得 ，（n>1）

，……，

， ，

以上式子累加，利用 得 - =

= ，

总结：累加法是反復利用递推关系得到n—1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f（n）}的前n—1项的和，要注意求和的技巧.

例2.已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 ，求通项公式 .

解：由 得

两式相减得： ，

，

将上面n—1个等式相乘得：

总结：累乘法是反复利用递推关系得到n—1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求{f（n）}的前n—1项的积，要注意求积的技巧.

二、迭代法

求形如 （其中 为常数） 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

例3.已知数列{an}满足a1=1，且an+1 = +1，求 .

解：an=3an-1+1=3（3an-2+1）+1=32an-2+3 1+1=…=3n-1a1+3n-2 1+3n-3 1+…+3 1+1=

总结：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同.

三、公式法（作阶差）

若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 求解。

例4.已知数列 的前 项和 满足 .求数列 的通项公式；

解：由

当 时，有

……，

经验证 也满足上式，所以

总结：利用公式 求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并.

四、转化法

想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法.同时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。

例5.已知数列 满足

求an

解：当

两边同除以 ，

即 成立，

∴ 首项为5，公差为4的等差数列.

总结：本题借助 为等差数列得到了 的通项公式，是典型的化归法.常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法.

五、构造法

递推式形如 （p、q为常数）的数列求通项，可用构造法转化为我们熟知的等差数列或者等比数列求解。

例6.已知数列{an}满足a1=1，且an+1 = +2，求 .

解：设 ，则 ，

， 为等比数列，

，

总结：求递推式形如 （p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或构造法构造新数列an+1+ =p（an+ ）来求得。

例7.已知数列 满足 求an.

解：将 两边同除 ，得 ，变形为 .

设 ，则 .令 ，

得 .条件可化成 ，

数列 为首项， 为公差的等比数列.

.因 ，所以 =

得 = .

总结：递推式为 （p、q为常数）时，可同除 ，得 ，令 从而化归为 （p、q为常数）型.

例8.已知数列 满足 求an.

解：设 通

展开后，得 .

由 ，解得 ，

条件可以化为

得数列 为首项， 为公差的等比数列， .问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得 .

总结：递推式为 （p、q为常数）时，可以设 ，其待定常数s、t由 求出，从而化归为上述已知题型.

六、“猜归”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法。也就是按照步骤“归纳”“猜想”“证明”进行.

例9.若數列 满足： 计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论.

解：∵a2=2 a1+3×2°=2×1+3×2°，

a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，

a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；

猜想an=2n-1+（n-1）×3×2n-2=2n-2（3n-1）；

用数学归纳法证明：

1.当n=1时，a1=2-1×=1，结论正确；

2.假设n=k时，ak=2k-2（3k-1）正确，

∴当n=k+1时，

= 结论正确；

由1、2知对n∈N*有

总结：利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设.

递推数列求通项方法灵活，但是只要掌握了以上类型及其解法，相信一定能处理好高考试题中有关数列部分题目。