一类三角函数不定积分的求解技巧

梁倩

[摘 要] 三角函数积分的形式多变，其求解通常具有方法灵活、技巧性强的特点。归纳总结了一类三角函数不定积分的求解技巧，并举例加以说明。

[关 键 词] 三角函数；积分；求解技巧

[中圖分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）07-0170-02

三角函数积分是微积分课程的重点和难点之一。求解三角函数积分具有灵活性高、技巧性强的特点，常见的方法包括换元积分法、分部积分法、利用三角函数万能公式进行代换等。本文考虑形如■tanmxsecnxdx，其中m和n均为非负整数的不定积分。这类积分又可进一步细分为几种类型，其求解无统一模式可循。本文旨在对此类积分的求解技巧作一较为系统的分类讨论和归纳总结，并举例加以说明。

类型1.n为正偶数的情况

我们知道■sec2xdx=tanx+C.

故这里只考虑n≥4的情况。此种情况下，我们首先从被积函数中分离出一个sec2x因子，然后利用三角恒等式sec2x=1+tan2x对被积函数进行变换，再令u=tanx进行换元积分。以下举一例加以说明。

例1.求解■tan6x sec4x dx.

解：■tan6x sec4x dx=■tan6x sec2x sec2x dx

=■tan6x（1+tan2x）d（tanx）

=■u6（1+u2）du （令u=tanx）

=■（u6+u8）du

=■+■+C

=■+■+C

类型2.n=0的情况

这里我们分别考虑m为奇数和m为偶数的情况，并各举一例说明。

我们首先考虑m为奇数的情况。此种情况下，我们首先利用三角恒等式tanx=■对被积函数进行变换，再从被积函数中分离出一个-sinx因子，然后利用三角恒等式sin2x=1-cos2x对被积函数进行变换，最后令u=cosx进行换元积分。

例2.求解■tan3x dx.

解：■tan3x dx=■■dx

=■■（-sinx）dx

=■■d（cosx）

=■■du（令u=cosx）

=■■-■du

=lnu+■+C

=lncosx+■+C

其次，考虑m为偶数的情况。此种情况下，我们利用三角恒等式tan2x=sec2x-1对被积函数进行变换，然后将被积函数展开，从而将积分化归为类型1进行求解。

例3.求解■tan4x dx.

解：■tan4x dx=■（tan2x）2dx

=■（sec2x-1）2dx

=■（sec4x-2sec2x+1）dx

=■sec4x dx-2■sec2x dx+■1dx

=■sec4x dx-2tanx+x

而利用类型1的求解方法，我们有：

■sec4x dx=■（1+tan2x）sec2x dx

=■（1+u2）du （令u=tanx）

=u+■+C

=tanx+■+C

故■tan4x dx=■-tanx+x+C.

类型3.m为奇数，且n为正整数的情况

此种情况下，我们首先从被积函数中分离出一个secx tanx因子，然后利用三角恒等式tan2x=sec2x-1对被积函数进行变换，再令u=secx进行换元积分。

例4.求解■tan3x secx dx.

解：■tan3x secx dx=■tan2x secx tanx dx

=■（sec2x-1）d（secx）

=■（u2-1）du （令u=secx）

=■-u+C

=■-secx3+C

類型4.m为偶数，且n为奇数的情况

此种类型的求解较为复杂。我们将其分为m=0和m>0两种情况进行分类讨论。

类型4.1.m=0，且n为奇数的情况

此种情况下，待求解的积分形如■sec2k+1x dx，其中k为非负整数。为简便计算，不妨设Ik=■sec2k+1x dx.我们有：

I0=■secx dx

=■■dx

=■■dx

=■■d（tanx+secx）

=■■du（令u=tanx+secx）

=lnu+C

=lntanx+secx+C. （1）

另一方面，由求导法则可得：

■（tanx sec2k+1x）=（2k+1）tan2x sec2k+1x+sec2k+3x

=（2k+1）（sec2x-1）sec2k+1x+sec2k+3x

=（2k+2）sec2k+3x-（2k+1）sec2k+1x.

从而有：■（2k+2）sec2k+3x dx-■（2k+1）sec2k+1x dx=tanx sec2k+1x.

也即是：（2k+2）Ik+1-（2k+1）Ik=tanx sec2k+1x. （2）

由（1）和（2），不难解得I1=■（tanx secx+lntanx+secx）+C更一般地，对于k≥2，可求得Ik的通项公式如下：

Ik=■■bitanx sec2i-1x+b0lntanx+secx+C

其中：bk=1；

bk-1=■；

bk-2=■；

……

b1=■；

b0=■.

例5.求解■sec7x dx.

解：此积分等价于I3.在前述关于Ik的通项公式中代入k=3，可求得如下系数：b3=1，b2=■，b1=■，b0=■.

从而我们有：■sec7x dx

=I3

=■（b3tanx sec5x+b2tanx sec3x+b1tanx secx+b0lntanx+secx）+C

=■tanx sec5x+■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C

类型4.2.m为正偶数，且n为奇数的情况

此种情况下，我们可利用三角恒等式tan2x=sec2x-1对被积函数进行变换，从而将积分化归为类型4.1进行求解。

例6.求解■tan4x sec3x dx.

解：■tan4x sec3x dx=■（tan2x）2 sec3x dx

=■（sec2x-1）2 sec3x dx

=■（sec4x-2sec2x+1）sec3x dx

=■sec7x dx-2■sec5x dx+■sec3x dx

而利用类型4.1的求解方法，我们可求得：

■sec7x dx=■（tanx sec5x+■tanx sec3x+■tanx secx

+■lntanx+secx）+C；

■sec5x dx=■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C；

■sec3x dx=■tanx secx+lntanx+secx+C

从而有：■tan4x sec3x dx=■tanx sec5x-■tanx sec3x+■tanx secx+■lntanx+secx+C.

参考文献：

[1]陈传璋，金福临，朱学炎，等.数学分析[M].高等教育出版社，1990.

[2]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，1999.