整体单元化设计理念下的“渐近线”教学

☉浙江省象山县第二中学 吕增锋

整体单元化设计理念下的“渐近线”教学

☉浙江省象山县第二中学 吕增锋

最近，我县举行了数学优质课比赛，上课的主题是“双曲线的渐近线”.笔者全程观摩了8位老师的课，他们基本上沿袭了“定义+应用”的教学套路，如图1所示.

图1

一、教学过程简介

下面是其中一位教师的上课过程.

1.给出定义与公式

问题1：双曲线开口大小由什么决定的？

通过作图，发现两条相交直线开口大小决定了双曲线的开口大小，由此给出渐近线的定义与公式.

问题2：如何证明渐近线与双曲线“无限接近，永不相交”.

主要有两种方法，一是渐近线方程与双曲线方程作差后求极限；二是对双曲线上的点到渐近线的距离取极限.

2.渐近线的应用

例1通过求下列双曲线的渐近线，你能得到什么启发吗？

（1）16x2-9y2=144；

（2）16x2-9y2=-144；

（3）16x2-9y2=1.

设计意图：通过求双曲线的渐近线获得求渐近线方程的“快捷”方法，即，从而使学生摆脱对“渐近线公式”的机械记忆.

例2若双曲线的渐近线方程为y=±3x，求满足下列条件的双曲线方程.

设计意图：利用双曲线方程与渐近线的关系，快速获得双曲线方程.比如，由y=±3x，可设双曲线方程为y2-9x2=λ（λ≠0）.

例3设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）.

例4设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e=________.

设计意图：明确渐近线方程与双曲线方程基变量之间的关系，能够应用渐近线的性质求离心率.

点评：单纯地站在“双曲线的几何性质”这节内容来看，上述的教学设计应该是比较合理的，比如，“会求双曲线的渐近线”的教学目标得到了很好的落实，“渐近线双曲线的初步联系”得到很好的揭示；但仔细琢磨后发现还有几个重要的问题没有得到解决，比如，渐近线作为双曲线特有的几何要素，它跟双曲线到底有什么内在的联系？我们知道反比例函数的图像是双曲线，它的渐近线与双曲线标准方程的渐近线在求法上是否一致？还有一些函数的图像也有渐近线，例如“对勾函数”，它跟双曲线有什么关系？这些问题若能得到揭示，不仅能够充实本节的教学内容，而且有助于学生对“渐近线”本质的理解.

要对“渐近线”进行诠释，显然不能拘泥于“双曲线的几何性质”这一节课，而是要站在“圆锥曲线”整个章节甚至“解析几何”模块的高度，根据章节或模块中不同知识点的需要，综合利用各种教学形式和教学策略，通过系统的学习，从而让学习者获得对“渐近线”的完整认知，这就是“整体单元化教学设计”.

二、整体化教学分析

数学知识间相互联系，具有很强的整体性与连续性，教师在进行教学分析时不能简单地停留在对某节课教材文本的解读上，而是要站在知识系统的高度，开展“整体化”教学分析.具体而言就是站在章节、模块，甚至是数学课程的高度去认识教学内容，全面地整合教材，连贯地理解目标，突出学科知识的系统性和教学的方向性.

1.渐近线求解原理的揭示

由渐近线定义中的“无限接近，永不相交”，我们可以获得渐近线的基本求解原理，那就是“极限思想”.对于双曲线的标准方程=1（a＞0，b＞0），变形+1，当x，y趋向于无穷大时，常数1就可以忽略不计，方程就变为 ，即得到渐近线方程为y=±x.

这种求渐近线的思想可以推广到一般函数.

利用此思想，还可以求类似于“分式”函数的渐近线.通过求渐近线不仅让学生学会了求解的技巧，更为重要的是掌握了数学基本原理.

2.对双曲线的再认知

我们知道圆锥曲线一般都具有类似的定义、方程结构和几何性质，唯独双曲线具有渐近线.渐近线的开口大小决定了双曲线的开口大小，渐近线与双曲线似乎存在着某种深刻的联系.

设两条相交直线方程为bx±ay=0，“有向”距离之积为k，当然k不等于0.则有k，化简得，显然所求点的轨迹为双曲线.

双曲线第三定义：到两条相交直线的“距离”之积为定值的点的轨迹，其中这两条相交直线就是双曲线的渐近线.

由定义出发，我们很容易得到下面推论.

推论：以两条相交直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲线方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示为以直线方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线.

借助定义与推论我们可以判断曲线是否为双曲线.

更加复杂的曲线x2+xy-2y2+3y-4=0⇒（x+2y-1）（xy+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0为渐近线的双曲线.

三、单元化教学设计

通过“整体化”教学分析，相关教材内容得到统筹重组和优化，我们就可以将优化后的教学内容视为一个相对独立的教学单元进行“单元化”教学设计，如图2所示.

图2

这样设计的好处是从单元教学的整体目标出发，统揽全局，将教学活动的每一步、每一个环节都放到教学活动的大系统中考量，突出教学内容的主线及知识间的关联性，而不是片面地突出或者强调某一点.以这节课为例，学生不仅获得了求解渐近线的一般方法，更为重要的是同时也掌握如何判定一条曲线为双曲线，比如，“对勾函数”原来就是双曲线，而很多“分式函数”的图像也是双曲线，这样就建立起了“圆锥曲线”与“函数”之间的联系，实现了数学知识的融会贯通.

事物的联系不仅是客观的、普遍的，而且是辩证的，即联系形式具有多样性和可变性，所以对任何过程的分析都应因时、因地、因势，根据具休事物的实际联系，进行具体的分析，整体单元化设计的就是普遍联系哲学观点在数学教学中的具体应用.它的价值在于从更高观点对数学教学中的各要素进行系统的综合考量，使其产生整体效益，从而可以避免纠缠于细枝末节，做到胸有成竹、游刃有余.