攻于构造 破于溯源——近三年经典压轴题研究与教学启示

☉山东省单县第一中学 卫小国

攻于构造 破于溯源
——近三年经典压轴题研究与教学启示

☉山东省单县第一中学 卫小国

数学学科高考命题要“注重能力立意，突出考查学生的逻辑思维能力、探究意识和数学素养”，而这一宗旨的实现，决定高考命题要遵循课程标准、兼顾选用恰当的载体.试题的理想布局，一方面，借助常规考题检测考生的基本技能和学科潜质，以达到控制试题难度的目的，且利于各层次学生的发挥；另一方面，以压轴试题为载体，浸润对思维灵活性、解题创新意识的考查，以利于客观、公平地选拔出有优秀数学素养的考生.在2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》中明确把“创新意识和应用意识”列为与“空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力、数据处理能力”等五大能力并行的两大学科意识.强调创新意识是理性思维的高层次，是指考生经历对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”过程；即考生迁移、融合数学知识和数学思想，创造性地解决问题；体验“用数学的眼睛观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表述世界”.近年，各省市的自主命题卷及全国卷，均在导数或解析几何部分命制至少一道压轴题，以检测考生的创新解题意识和推理论证能力、运算求解能力等；已经形成了“依据高数背景、融入构造思想、嵌入数学名题，以突显创新意识、彰显数学文化”的数学学科命题特色.

本文中笔者研究的主体是近三年经典高考压轴试题，一方面，对试题进行剖析，揭示试题所含数学思想和命题渊源；另一方面，为中学师生备考高考压轴题与探究提供参考.

一、试题特征的分析

对2014年39套、2015年31套、2016年19套高考试卷进行统计，仅列出其中具有代表性的压轴题，按考点（导数、解析几何）列出下表（见表1）.

备注：此表仅是针对有代表性的压轴题进行列举，不涉及试题的难度评价.

（一）特征分析

第一，从压轴题考查的知识点来看，导数与解析几何是压轴题命题的主体；偶尔有综合数列与不等式等考点，以融合计算能力和分析问题等多种数学学科能力的考查.考试题型以证明题居多，也不乏“存在性、恒成立”等探究性试题.其中导数部分的命题较集中于不等式证明与恒成立求参数，知识背景较为集中于热点；而解析几何则以面积的求解居多，几何背景较为丰富.

第二，从文理试卷对比上看，有数学背景的压轴题在理科试卷中明显更多，文科相对数量上较少；但在导数试题中，文科试卷每年都有不错的压轴题出现.

第三，从压轴题的知识能力考查上看，导数题侧重考查创新解题意识、抽象概括能力和推理论证能力；兼顾考查数学思想（如函数与方程、分类讨论和等价转化）.解析几何更偏向运算求解能力和应用意识，命题通常围绕数形结合思想、方程思想、分类讨论思想和运动变化的观点展开.前者解答要间接构造新的函数或不等式，对思维水平要求高；而后者则是在常规的运算处理之外，又或多或少的存在简化计算的方法，即计算能力要求高.

第四，纵看几年试题发展变化，导数试题小同大异；同在基于单调性、极值，考查数学抽象、数据分析、逻辑推理；异于融入的高等数学知识背景，且数学情境常考常新.解析几何试题则变化不大，命题已经成熟，在考查的形式、试题的难度和问题的类型等方面趋于稳定.常以椭圆为模型，巧妙将经典的几何背景与性质特殊化、具体化；突出数学建模、直观想象、数学运算等数学素养.

（二）试题赏析

注：限于篇幅，仅赏析部分试题.

1.以数学史上的名题为背景

“体现数学的文化价值”是高中数学课程的十项基本理念之一，数学课程中有许多的章节都安排了蕴含丰富数学文化价值的阅读素材；高考试题中也以数学发展史上的重大发现为背景，命制了多道以数学名题为背景的考题，彰显数学的历史悠久、数学家的创新精神和数学的美学价值.

（1）阿基米德三角形.

例1（2015年全国I卷理科20题）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M、N两点.

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）y轴上是否存在一点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

解析：（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0，所以x+x=4k，xx=-4a，从而k+k=121212

当b=-a时，有k1+k2=0，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-a）符合题意.

评注：上述解答是将角度之间的关系，转化为斜率间的等式关系；利用直线与抛物线的位置关系，以韦达定理为媒介联系所要证明的问题.该试题是基于阿基米德三角形性质命制的，是其几何性质的具体化.阿基米德三角形的命名缘由是，阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形的.利用阿基米德三角形的有关重要结论，在高考中有2005年江西卷理科22题、2006年全国Ⅱ卷理科21题、2007年江苏卷理科19题、2008年山东卷理科22题、2008年江西卷21题等类似试题出现.

（2）蒙日圆.2（2014年广东卷理科20题）已知椭圆C：

（Ⅱ）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

简析：该高考试题是以蒙日圆为背景来命制的，蒙日圆的概念是：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，圆心为椭圆中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根.本题是对定理的具体化；意欲重现了该圆的发现过程和论证思路；展示给考生这一数学史上与阿波罗尼斯圆齐名的、重要的圆.

（3）卡尔曼不等式

例3（2015年湖北卷理科22题）已知数列｛an｝的各项均为正数，且bn=n（ 1+）na（nn∈N*），e为自然对数的底数.

（Ⅲ）令cn=（a1a2… ，数列｛an｝，｛cn｝的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn.

简析：试题的背景是卡尔曼不等式，该不等式名称源于1922年，Carleman给出不等式：设an≥0（n=1，2，…），高考题的证明过程，是结合前面问题铺设已得结论，进行放缩以便裂项求和；再构造出一个加强的不等式.试题前面的设问是给考生搭台阶，但是试题难度依旧较大，试题对构造思想的考查是该题的核心；构造出适当的待证不等式是高考试题对思维的深层考查.

2.以高等数学知识为命题依据

高考数学学科的试题中，高等数学的影子一直比较活跃；有设计考查高等数学中的重要结论的；有的是能初等化理解或猜想的公式等.此类试题，较多出现在导数压轴题中；以下是选取其中两例，揭示命题的理论依据和对构造思想的考查意图.

（1）泰勒展式.

综上可知，k的最大值为2.

评注：以上的解法是利用前一问的结论，将分类讨论的情形简化；辅以构造函数求最值，最终化归为一般的不等式求值.泰勒展开式在不等式证明中的应用，目的是为了有限放缩，是对“化曲为直”证明不等式的进一步研究和深化；也是该经典试题的背景和理论之源.

（2）拉格朗日中值定理.

例5（2014年陕西卷理科21题）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（Ⅲ）设n∈N*，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明.

简析：本题似乎仅是一道数列不等式的问题，是基于结论构造的一类试题；但实质是拉格朗日中值定理的应用之一，是数列借助函数方法研究的一类典型问题.其中ln（n+1）-lnn＞这一关键的不等式构造，其实是基于拉格朗日中值定理所获得结论，推理过程是=f′（ξ），ξ∈（x，x）⇒ln（n+1）-lnn=，λ∈（n，12n+1），则ln（n+1）-lnn＞

3.以教材延伸结论为本原

高考“源于教材、高于教材”命题原则的落实，不是简单照搬课本上的结论和定理等知识，而是在核心的知识点和问题上，适当变式、推广延伸、拓展活用.导数应用中的“化曲为直”，与圆锥曲线中“光学性质”等，在各省市的试题中屡屡出现.

（1）函数不等式.

例6（2016年山东卷理科20题）已知（fx）=a（x-lnx），a∈R.

解析：（Ⅱ）因为lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），故（fx）≥1+（当且仅当x=1时等号成立）.

评注：本题的解法较多，其中用函数将不等式lnx≤x-1（基于人教A版选修2-2）转化成较为简单的形式，这也是函数不等式的主要作用.基本的思路是将不等式简化，以构造出较为简单的、易于证明的加强不等式，从而间接论证或求解.常见的函数不等式有：ln（1+x）＜x＜-ln（1-x），≤ln（x+1）≤x（x＞-1），ex≥1+x，ex≤＜x（x＜1）等.高考在2006年全国Ⅱ卷、2007年辽宁卷理科、2010年大纲卷、2013年陕西卷、2014年全国Ⅲ卷等，都有考查.

（2）圆锥曲线的光学性质.

例7（2014年山东卷理科21题）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|PA|=|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标.

简析：本题考查的是圆锥曲线中的证明定点问题.若将题中条件一般化，即是抛物线的光学性质.基于人教A版选修2-1课本第75页，圆锥曲线的光学性质如下：①椭圆：从椭圆的一个焦点出发的光线投射到椭圆上，经反射后光线必通过另一个焦点；②双曲线：从双曲线的一个焦点出发的光线投射到双曲线上，经反射后反射光线的延长线必通过另一个焦点；③抛物线：与对称轴平行的光线投射到抛物线上，经反射后反射光线必通过焦点.高考题很多是直接应用该性质解题，如2010年安徽卷文科17题、2013年山东卷理科20题等；所以该知识点，师生要注意其应用的价值.

（3）对数不等式链.

例8（2014年山东卷文科20题）设函数（fx）=alnx+，其中a为常数.

（Ⅱ）讨论函数（fx）的单调性.

简析：试题考查的是分类讨论思想在函数单调性中的应用，如上过程是常规解答，是高考的“套路”.本题难点是以为界的确定，否则无法进行有条理的讨论；实质该值的确定是通过对数不等式链：2·＜lnx＜（）x＞1）（基于人教A版课本第2-2）而得到的，以上的推论过程就是该不等式的推导过程的一部分；而2013年大纲卷理科题是该不等式的后半部分.

4.以近年热点问题为素材

研究近年的试题，有一些典型的数学问题和重要的几何性质，在高考题中出现的次数较多，如极值点偏移、面积与直线斜率关系，特别是2015年对椭圆与三角形的综合问题多省份集中进行考查.

（1）极值点偏移.

例9（2016年高考新课标Ⅰ卷理）已知函数（fx）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅱ）设x1，x2是（fx）的两个零点，证明：x1+x2＜2.

解析：（Ⅱ）不妨设x1＜x2，由（Ⅰ）知x1＜1＜x2⇒2-x2＜1，且函数g（x）=ex在（-∞，1）上单调递增，所以x+x＜122等价于g（x2）＞（f2-x1），即g（x1）＞（f2-x1）.

接下来证明：∀x∈（-∞，1），g（x）-g（2-x）＞0，即要证∀x∈（-∞，1），e（x2-x）-xe2-x＞0.令h（x）=e（x2-x）-xe2-x，

则h（′x）=（ex-e2-x）（1-x），易当x＜1时，ex-e2-x＜0，

于是，在（-∞，1）上h（x）=ex（2-x）-xe2-x单调递减且h（1）=0，即可证得.

……

（2）圆锥曲线斜率与面积的性质.

例10（2015年上海卷文科22题）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别交椭圆于点A、B和C、D.记△AOC的面积为S.

（Ⅲ）设l1和l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变.

简析：此题属高考热点问题之一的存在性问题，试题常以“是否存在”的形式出现而且结论不确定；问题常常需要由给定的题设条件探寻结论，或由问题追溯相应的条件.本题中关键是转化为恒成立问题，利用待定系数的方法确定S和斜率之积m的值.此题的背景是：

椭圆=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别交椭圆于点A、B和C、D，则l1和l2的斜率之积为是ab的充要条件.

当然，面积与斜率的这种关系，也可以推广到双曲线，如2014年福建卷理科第19题即是推广结论的应用：已知两定直线l1：y=kx，l2：y=-kx（k＞0），O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B（点A，B分别在第一、四象限）且线段AB的中点为点C，则△OAB的面积为定值kλ2的充要条件为中点C的轨迹方程为=1，且直线l总与双

（3）椭圆嵌入三角形.

例11（2014年全国Ⅰ卷理科20题）已知点A（0，-2），椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

简析：高考解析几何试题中，以此类问题压轴已是热门；试题钟情于面积的最值与定值的探究，近年有2014年全国Ⅰ卷理科20题，2015年山东卷理科20题，2015年上海卷理科21（文科22）题，2015年浙江卷理科19题等，这些同源题是高考的压轴题、是难点和热点.解析几何中的计算比较困难，考生平时训练时要注重解析几何题目中常用简化运算的技巧，适当渗透高等几何中的仿射变换，转化为圆的问题研究；为优秀的数学考生提供展示机会.

二、教学启示

对以上经典高考压轴题，笔者仅是揭示“试题有源，解答有根，构造有法”；体会看似凭空而生的压轴题巧妙解答中，其实无不内含着命题者的用心.命题者不厌其烦地初等化、分解化，将高等数学的重要定理、公式与问题，高观念地融入试题之中，从而让数学优秀生的才能充分施展.研究高考试题，也能促使高中师生的教与学要提升到新的高度，教——要讲道理的同时讲清原理，学——要多反思的同时多总结；在知识与思维的系统上构建.

教师要理解命题的“高观念、初等化”，即要改变在传统的观念中，认为压轴题似乎就是“偏、奇、怪”的试题.从以上的经典压轴题研究，可见这种认识是不恰当的，必将导致压轴题的备考，迷失在追求所谓的“新题、怪题”之中.其实，命题者在压轴题其中一问中，高观念地设计、或初等化高数知识，将这些与高中数学有内在联系的性质、定理及公式通过具体的情境融入试题中.高等数学的背景是考查能力的载体，而不是追求对知识的考查；命题的出发点是，让考生对高中已学知识进行有效迁移，用中学的知识和方法解题；即高等数学背景、初等数学解法.并且试题从表层的设计上充分考虑到考生的临场心理、探究能力、解题能力，采用的是层层递进的方式，为优秀学生展示学科综合素养提供平台；以便考生把握住压轴题提供的信息，而不会因信息的不理解失分.优秀的考生，在命题者信息“隐形”指引下，发挥自身的智力优势，创新地解题.

教师要把握试题的“本原性、思维性”，即高考背景、竞赛背景、名题背景类的高考题的命制，出发点不是让高中教师讲授高等数学知识，而是激励教师引导学生把握本质、理解核心思想与方法.要在课堂中教给学生将新的问题，化归为已经学习和已经解决的试题；在考试中，将新的考题回归到往年的经典的试题.即关注基于本源性的问题驱动下的教学，以提升学生思维的发散性和灵活性.另外，对好的素材要充分挖掘，追根溯源；一题多解，创新解答；多题归一，善于归纳；提高学生的基本数学素养与学科创新能力.教学中针对导数典型题，让学生认识到解答的灵活不是无中生有，而是有中生熟；在教学中，要强化学生对构造思想的重视，特别重视经典试题中蕴含的常考背景知识的新变化、新形式.对解析几何压轴题，通过典型题例让学生明白解法，重视对一般算理的考查，若是单纯的多练习在面对新的情境时会无措.因此，对平时训练中，好的解析几何试题，进行一般化以发现背景；外拓至圆锥曲线来揭示是否有统一性，并且，积累更多好的解析几何模型，特别是与数学史有关的问题.

教师要认识破解压轴题需“攻于构造、破于溯源”，即是在教学中，对两大知识点区别对待，以增强备考的针对性和有效性.导数的压轴题中，让人耳目一新之处皆是巧妙构造；有基本的构造如最值构造、分参构造，有基于已有或已证结论的构造，有依据题设条件的代数形式的构造，还有更高的是利用高数背景知识的构造.因此，导数的压轴题研究，要细致分析近年的高考热点；对每一个问题系统整理可能的表述形式和解题方法，以及对解法对比与优化.在教学中渗透上述策略，特别要指导学生多见，同时纵横捭阖看试题的发展变化；特别是对构造证明题，要理解构造的本原之处.解析几何的压轴题，则需要精细打算；在确保核心的计算能力和运算调整技巧熟练的同时，对问题的几何背景深挖到本质.在教学时要示范“如何一般化猜想、怎样充要性论证、为何可以曲线间统一性”等；在培养学生探究意识和激发学习兴趣的过程中，教会学生进行几何试题的探源，探寻到高考解析几何压轴题命题的根.

教师要培养学生“三不唯”，即“不唯书”，要在解题后反思“为何这样解、如此解是否可以、是否能更优化”，争取获得思维上的大提升.坚持勤于思考，注重对问题的理解；温故而知新，对有价值的问题要深入研究，提炼出问题模型、总结问题一般解法、挖掘试题的数学背景、领悟试题内含的数学思想.再则是要“不唯师”，即要有批判的学习精神，对教师提供的解答虚心接纳，但又不囿于接受，而是进一步结合问题的情境提出新的理解，培养自主思考习惯.更要“不唯一”，追求解题方法的不单一，能自主分析、优化解题切入的方式.在教师指引下，学生“系统突破、创新思维，追根溯源、归纳提升，发散思维、由点及面”，实现高效突破压轴题难关！

1.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.刘鸿春.割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究［J］.中学数学（上），2015（8）.

3.伍海军，李红春.心中存司南 笔下有圆方——新课标全国卷Ⅰ试题特点及应对策略［J］.中学数学（上），2016（1）.