一道高考数学选择题的解法探究

☉湖北省监利县第一中学 张江松

☉湖北省监利县第一中学 苏贤昌

一道高考数学选择题的解法探究

☉湖北省监利县第一中学 张江松

☉湖北省监利县第一中学 苏贤昌

试题 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为了激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为20，接下来的两项为20，21，再接下来的三项为20，21，22.依此类推，求满足如下条件的最小整数n，n＞100，且该数列的前n项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（ ）.

A.440B.330C.220D.110

分析：本题是2017年全国高考统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学选择题的第12题，许多考生都是望而生畏，无从下手.其主要原因是试题的取材独特，涉及的知识点多，情景新颖，思维量大，一下子难以把握.实际上，对它的求解，只要我们注重探究，抓住“第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推”这一信息分析、探究，将该数列按第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，…，第k组k个数划分，即可抓住问题的本质，找到解题的突破口.若注重对备选项与题干的考查，逆推探索，亦可使问题获解.在此，现给出如下三种探究性解法，仅供读者参考.

解法1：直接探究法.因为数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…，1，2，4，8，…，2k-1，… （※），故将数列（※）按第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，…，第k组k个数，分成若干组.其中第k组的k个数为1，2，4，…，2k-（1k∈N*）.

于是，目测得142=196，152=225，由此可得k≥14.

由题意得2k+1-k-2＞0，所以k+2＜2k+1.

显然，k+2不可能为2k.

因为当k+2=2k时，有k=2，这与k≥14矛盾.

由此可得，“k+2”这一尾巴只能是数列（※）的第k+1组的等比数列中的前部分项的和.

故设k+2=1+2+4+…+2m-1=2m-1，

即k=2m-3（m∈N*）.（※※）

又目测知，当m=4时，k=16-3=13＜14，不合题意，舍去.

当m=5时，k=32-3=29＞14，合题意.

所以m=5是使n取最小值的正整数.

故选A.

解法2：上接（※※）式，可得k+3=2m.

故设数列：an=2n，bn=n+3（n∈N*）.

不难得知a2=b1=4；a3=b5=8；a4=b13=16；a5=b29=32；…

因为k≥14，所以符合条件的最小公共项为a5=b29=32.

故取m=5，k=29.

所以选A.

解法3：筛选法.

因为数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…，1，2，4，8，…，2k-1，… （※），而题目要求的是n的最小值，于是，结合选项知，先考查选项D.

显然，215+15不是2的整数次幂，故选项D排除.

由此，目测得202=400，212=441.

显然，221+210-23不可能为2的整数幂.

故选项C排除.

由此，目测得252=625，262=676.

显然，226+4不可能为2的整数幂.

故选项B排除.

综上可得答案为A.

点评：本题以现实生活中的问题为背景，考查数列前n项和的求法，考查阅读理解能力与创新思维能力，是一道难度较大的压轴题.解法1采用的是直接法，具有较大的探究性.解题的关键在于：①能否正确领悟“Sn是2的整数幂”.因为这一信息，易使我们的思维走入误区，即误认为只有当k+2=2k时，才有2k+1-k-2=2k+1-2k=2k.②能否从各项的值的和的角度出发考查，挖掘出“k+2”这一尾巴是数列（※）中的第k+1组等比数列中的前部分项的和.③能否通过目测、探究，发掘隐含信息k=14，m=5.一旦明确了这几点，问题也就解决了.解法2注重从数列的角度上对数列（※※）考查，通过构建数列｛an｝、｛bn｝，观察这两个数列的前几个公共项来解决的，是一种观察、探究性的解法.解法3采用的是逆推筛选法.在筛选前，先考查与备选项的值的关系，再确定k的取值是必须的.在筛选时，从最小的值开始验证也是一种技巧.因为若先验证选项A合条件后，还不能断言440就是最小的n，必须继续验证选项B、C、D都不合题意才行.这样须经四次筛选才能搞定，花时过多，显然是不划算的.这正是命题者有意设置的一个圈套.

鉴于上述，对此选择题要做到小题小解，准确迅速，务必透彻理解题意，注重考查题干和备选项的关系，活用通性通法分析；注重对每一微小细节的探究，充分挖掘问题的隐含信息，把握解题的切入点；注重解题方法的选择，促进解题的探究性与创新性.

附：对于选项A验证给出如下：